Question

已知直線y=kx+1和雙曲線3x²-y²=1相交于兩點(diǎn)A，B；
（1）求k的取值范圍；
（2）若以AB為直徑的圓恰好過(guò)原點(diǎn)，求k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：直線與圓

分析：（1）把直線方程與雙曲線的方程聯(lián)立可得△＞0，解出即可．
（2）利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．

解答： 解：設(shè)交點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=ax+1 3x2-y2=1

消去y，得（3-a²）x²-2ax-2=0，
（1）由于直線與雙曲線相交，∴

3-a2≠0 △=4a2+8(3-a2)＞0

∴a²＜6且a²≠3．
∴a的取值范圍為-

6

＜a＜

6

，且a≠±

3

．
（2）由韋達(dá)定理，得x₁+x₂=

2a

3-a2

，①x1x2=

-2

3-a2

，②
∵以AB為直徑的圓恰好過(guò)坐標(biāo)系的原點(diǎn)，
∴

OA

⊥

OB

，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=0，
即x₁x₂+（ax₁+1）（ax₂+1）=0，整理得（a²+1）x₁x₂+a（x₁+x₂）+1=0③
將①②代入③，并化簡(jiǎn)得

1-a2

3-a2

=0，∴a=±1，
經(jīng)檢驗(yàn)，a=±1滿足題目條件，
故存在實(shí)數(shù)a滿足題目條件．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與雙曲線相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得△＞0及根與系數(shù)的關(guān)系、圓的性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．