Question

已知橢圓C：（a>b>0）的左右焦點分別是F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），動直線l：x=my+c與橢圓C交于兩點M，N，當(dāng)時，M是橢圓C的上頂點，且△MF₁F₂的周長為6。

（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的左頂點為A，直線AM，AN與直線：x=4分別相交于點P，Q，問當(dāng)m變化時，以線段PQ為直徑的圓被x軸截得的弦長是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，說明理由。

Answer 1

解：（1）當(dāng)時，直線的傾斜角為120°，
所以
解得a=2，c=1
所以橢圓方程是。
（2）當(dāng)m=0時，直線l的方程為x=1．此時，M，N點的坐標(biāo)分別是，
又A點坐標(biāo)是（-2，0），由圖可以得到P，Q兩點坐標(biāo)分別是（4，3），（4，-3），
以PQ為直徑的圓過右焦點，被x軸截得的弦長為6，
猜測當(dāng)m變化時，以PQ為直徑的圓恒過焦點F₂，被x軸截得的弦長為定值6，
證明如下：
設(shè)點M，N點的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）
則直線AM的方程是
所以點P的坐標(biāo)是
同理，點Q的坐標(biāo)是
 由方程組得3（my+1）²+4y²=12（3m²+4）y²+6my-9=0
所以
從而



 所以，以PQ為直徑的圓一定過右焦點F₂，被x軸截得的弦長為定值6。