已知橢圓C:+(a>b>0)的焦距為4,且過點P(,).
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設Q(x,y)(xy≠0)為橢圓C上一點,過點Q作x軸的垂線,垂足為E.取點A(0,2),連接AE,過點A作AE的垂線交x軸于點D.點G是點D關于y軸的對稱點,作直線QG,問這樣作出的直線QG是否與橢圓C一定有唯一的公共點?并說明理由.
【答案】分析:(I)根據橢圓的焦距為4,得到c==2,再由點P()在橢圓C上得到,兩式聯(lián)解即可得到a2=8且b2=4,從而得到橢圓C的方程;
(II)由題意得E(x,0),設D的坐標為(xD,0),可得向量、的坐標,根據AD⊥AE得,從而算出xD=-,因為點G是點D關于y軸的對稱點,得到G(,0).直線QG的斜率為kQG=,結合點Q是橢圓C上的點化簡得kQG=-,從而得到直線QG的方程為:y=-(x-),將此方程與橢圓C的方程聯(lián)解可得△=0,從而得到方程組有唯一解,即點Q是直線QG與橢圓C的唯一公共點,由此即得直線QG與橢圓C一定有唯一的公共點.
解答:解:(I)∵橢圓C:+(a>b>0)的焦距為4,
∴c=2,可得=2…①
又∵點P()在橢圓C上
…②
聯(lián)解①②,可得a2=8且b2=4,橢圓C的方程為
(II)由題意,得E點坐標為(x,0),
設D(xD,0),可得=(x,-),=(xD,-),
∵AD⊥AE,可得
∴xxD+(-)•(-)=0,即xxD+8=0,得xD=-
∵點G是點D關于y軸的對稱點,∴點G的坐標為(,0)
因此,直線QG的斜率為kQG==
又∵點Q(x,y)在橢圓C上,可得
∴kQG==-
由此可得直線QG的方程為:y=-(x-),
代入橢圓C方程,化簡得()x2-16xx+64-16=0
和8-2=x代入上式,得8x2-16xx+8=0,
化簡得x2-2xx+=0,所以△=
從而可得x=x,y=y是方程組的唯一解,即點Q是直線QG與橢圓C的唯一公共點.
綜上所述,可得直線QG與橢圓C一定有唯一的公共點.
點評:本題給出橢圓的焦距和橢圓上的點P的坐標,求橢圓的方程并由此討論直線QG與橢圓公共點的個數(shù)問題.著重考查了橢圓的標準方程、簡單幾何性質和直線與圓錐曲線位置關系等知識,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源:2012-2013學年河北省衡水市冀州中學高二(上)期中數(shù)學試卷(文科)(解析版) 題型:選擇題

已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左右焦點為F1,F(xiàn)2,過F2線與圓x2+y2=b2相切于點A,并與橢圓C交與不同的兩點P,Q,如圖,PF1⊥PQ,若A為線段PQ的靠近P的三等分點,則橢圓的離心率為( )
A.
B.
C.
D.

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科目:高中數(shù)學 來源:2012年吉林省高考數(shù)學仿真模擬試卷9(理科)(解析版) 題型:解答題

已知橢圓C:+=1(a>b>0),直線l為圓O:x2+y2=b2的一條切線,記橢圓C的離心率為e.
(1)若直線l的傾斜角為,且恰好經過橢圓的右頂點,求e的大小;
(2)在(1)的條件下,設橢圓的上頂點為A,左焦點為F,過點A與AF垂直的直線交x軸的正半軸于B點,過A、B、F三點的圓恰好與直線l:x+y+3=0相切,求橢圓方程.

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科目:高中數(shù)學 來源:2011年高考數(shù)學總復習備考綜合模擬試卷(3)(解析版) 題型:解答題

已知橢圓C:+=1(a>b>0),直線l為圓O:x2+y2=b2的一條切線,記橢圓C的離心率為e.
(1)若直線l的傾斜角為,且恰好經過橢圓的右頂點,求e的大。
(2)在(1)的條件下,設橢圓的上頂點為A,左焦點為F,過點A與AF垂直的直線交x軸的正半軸于B點,過A、B、F三點的圓恰好與直線l:x+y+3=0相切,求橢圓方程.

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科目:高中數(shù)學 來源:2012-2013學年廣西桂林市、崇左市、防城港市高考第一次聯(lián)合模擬理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題

 如圖,已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F、F,A是橢圓C上的一點,AF⊥FF,O是坐標原點,OB垂直AF于B,且OF=3OB.

(Ⅰ)求橢圓C的離心率;

(Ⅱ)求t∈(0,b),使得命題“設圓x+y=t上任意點M(x,y)處的切線交橢圓C于Q、Q兩點,那么OQ⊥OQ”成立.

 

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科目:高中數(shù)學 來源:2014屆遼寧瓦房店高級中學高二上期中考試理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題

(本題滿分12分)已知橢圓C:=1(a>b>0)的離心率為,以原點為圓點,橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+=0相切。

(Ⅰ)求橢圓的標準方程;

(Ⅱ)設P(4,0),A,B是橢圓C上關于x軸對稱的任意兩個不同的點,連接PB交隨圓C于另一點E,證明直線AE與x軸相交于定點Q.

 

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