如圖正方形ABCD和四邊形ADEF所在的平面垂直,F(xiàn)A⊥AD,DE∥FA,且,G是FC的中點(diǎn).
(1)求證:EG⊥平面ACF;
(2)求多面體ABCDEF的體積.

【答案】分析:(1)取AF中點(diǎn)H,連接GH,EH,由正方形ABCD和四邊形ADEF所在的平面垂直,F(xiàn)A⊥AD,DE∥FA,且,G是FC的中點(diǎn),得到EH=AH=FH=CD=DE=1,EH⊥AF,ED⊥CD,GH∥AC,CE=EF=AC=,GH=,故EG⊥CF,再由EG2+GH2=EH2,知EG⊥GH,由此能夠證明EG⊥平面ACF.
(2)連接FD,則多面體ABCDEF的體積:VABCDEF=VF-CDE+VF-ABCD,由VF-CDE=,VF-ABCD=,能求出多面體ABCDEF的體積.
解答:解:(1)取AF中點(diǎn)H,連接GH,EH,
∵正方形ABCD和四邊形ADEF所在的平面垂直,
FA⊥AD,DE∥FA,且,G是FC的中點(diǎn),
∴EH=AH=FH=CD=DE=1,EH⊥AF,ED⊥CD,GH∥AC,
∴CE=EF=AC==,GH==,
∴EG⊥CF,
∵FC===,
∴EG===,
∵EH=1,∴EG2+GH2=EH2,
∴EG⊥GH,
又∵CF∩GH=G,
∴EG⊥平面ACF.
(2)連接FD,則多面體ABCDEF的體積:
VABCDEF=VF-CDE+VF-ABCD
=+
=+
=
=
點(diǎn)評(píng):本題考查直線與平面垂直的證明,考查多面體體積的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意中位線、勾股定理、等積法等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用.
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