數(shù)列{an}是公比大于1的等比數(shù)列,a2=6,S3=26.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)在an與an+1之間插入n個數(shù),使這n+2個數(shù)組成公差為dn的等差數(shù)列.設第n個等差數(shù)列的前n項和是An.求關于n的多項式g(n),使得An=g(n)dn對任意n∈N+恒成立;
(3)對于(2)中的數(shù)列d1,d2,d3,…,dn,…,這個數(shù)列中是否存在不同的三項dm,dk,dp(其中正整數(shù)m,k,p成等差數(shù)列)成等比數(shù)列?若存在,求出這樣的三項;若不存在,說明理由.
分析:(1)設公比為q,由,a2=6,S3=26 求得q=3,從而求得 a1=2,由此求出等比數(shù)列的通項公式.
(2)由等差數(shù)列的通項公式求得 dn=
n-1
n+1
,利用等差數(shù)列的前n項和公式求得可得 An=
4• n2n-1
n+1
,再由 An=g(n)dn對任意n∈N+恒成立,求得 g(n).再由 dk2=dm•dp,求得 m=k=p,這與dm,dk,dp是不同的三項相矛盾,由此得出結論.
解答:解:(1)設公比為q,由,a2=6,S3=26 可得
6
q
+6+6q=20
,解得q=3,或 q=
1
3
,再由q>1可得q=3,∴a1=2,an=2×3n-1
(2)由等差數(shù)列的通項公式可得 2×3n=2×3n-1+(n+1)•dn,∴dn=
n-1
n+1
,
∴An=n 2×3n-1+
n(n-1)
2
n-1
n+1
=
4• n2n-1
n+1

∵An=g(n)dn對任意n∈N+恒成立,∴g(n)=n2
(3)對于(2)中的數(shù)列d1,d2,d3,…,dn,…,這個數(shù)列中若存在不同的三項dm,dk,dp(其中正整數(shù)m,k,p成等差數(shù)列)成等比數(shù)列,
則有 dk2=dm•dp,即 (
k-1
n+1
)
2
=
m-1
m+1
p-1
p+1
,再由 2k=mp,解得 m=k=p,
這與dm,dk,dp是不同的三項相矛盾,故不存在不同的三項dm,dk,dp(其中正整數(shù)m,k,p成等差數(shù)列)成等比數(shù)列.
點評:本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質,等比數(shù)列的通項公式,等比數(shù)列的前n項和公式的應用,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),記A(n)=a1+a2+…+an,B(n)=a2+a3+…+an+1,C(n)=a3+a4+…+an+2,n=1,2,….
(Ⅰ)若a1=1,a2=3,且對任意n∈N*,三個數(shù)A(n),B(n),C(n)組成等差數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)若三個數(shù)A(n),B(n),C(n)組成公比為q的等比數(shù)列,證明:數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列;
(Ⅲ) (理科)在(Ⅰ)的條件下,求使不等式(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)≥p
2n+1
對一切n∈N*均成立的最大實數(shù)p.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設數(shù)列{an}是公比大小于1的等比數(shù)列,Sn為數(shù)列{an}的前n項和.已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4構成等差數(shù)列.
(I)求數(shù)列{an}的通項公式an
(II)設cn=log2an+1,數(shù)列{cncn+2}的前n項和為Tn,是否存在正整數(shù)m,使得Tn
1cmcm+1
對于n∈N*恒成立?若存在,求出m的最小值;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

設數(shù)列{an}是公比大小于1的等比數(shù)列,Sn為數(shù)列{an}的前n項和.已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4構成等差數(shù)列.
(I)求數(shù)列{an}的通項公式an;
(II)設cn=log2an+1,數(shù)列{cncn+2}的前n項和為Tn,是否存在正整數(shù)m,使得Tn數(shù)學公式對于n∈N*恒成立?若存在,求出m的最小值;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),記A(n)=a1+a2+…+an,B(n)=a2+a3+…+an+1,C(n)=a3+a4+…+an+2,n=1,2,….
(Ⅰ)若a1=1,a2=3,且對任意n∈N*,三個數(shù)A(n),B(n),C(n)組成等差數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)若三個數(shù)A(n),B(n),C(n)組成公比為q的等比數(shù)列,證明:數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列;
(Ⅲ) (理科)在(Ⅰ)的條件下,求使不等式(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)≥p
2n+1
對一切n∈N*均成立的最大實數(shù)p.

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科目:高中數(shù)學 來源:2012年山東省濰坊市高考數(shù)學仿真試卷4(理科)(解析版) 題型:解答題

設數(shù)列{an}是公比大小于1的等比數(shù)列,Sn為數(shù)列{an}的前n項和.已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4構成等差數(shù)列.
(I)求數(shù)列{an}的通項公式an;
(II)設cn=log2an+1,數(shù)列{cncn+2}的前n項和為Tn,是否存在正整數(shù)m,使得Tn對于n∈N*恒成立?若存在,求出m的最小值;若不存在,說明理由.

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