Question

如圖，F₁，F₂分別是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，

A是橢圓C的頂點(diǎn)，B是直線AF₂與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)，∠F₁AF₂＝60°.且△AF₁B的面積為40，

則a＝________，b＝________.

Answer 1

10　5

解析　(1)左焦點(diǎn)為F₁(－c,0)，PF₁⊥x軸，

當(dāng)x＝－c時(shí)，＋＝1⇒y＝b²＝⇒y_P＝(負(fù)值不合題意，已舍去)，點(diǎn)P，

由斜率公式得k_AB＝－，k_OP＝－.

∵AB∥OP，∴k_AB＝k_OP⇒－＝－⇒b＝c.

∵a²＝b²＋c²＝2c²，

∴＝⇒e＝＝.

(2)法一　a²＝4c²，b²＝3c²，直線AB的方程為y＝－(x－c)，

將其代入橢圓方程3x²＋4y²＝12c²，得B，

所以|AB|＝＝c.

由S△AF₁B＝|AF₁|·|AB|·sin∠F₁AB＝a·c·＝a²＝40，解得a＝10，b＝5.

法二　設(shè)|AB|＝t(t>0)．

因?yàn)閨AF₂|＝a，所以|BF₂|＝t－a.

由橢圓定義|BF₁|＋|BF₂|＝2a可知，|BF₁|＝3a－t，

再由余弦定理(3a－t)²＝a²＋t²－2atcos 60°可得，t＝a.

由S△AF₁B＝a·a·＝a²＝40知，

a＝10，b＝5.