Question

（2012•成都一模）已知等差數(shù)列{a_n}中，公差d＞0，a₂=9，且a₁a₃=65．?dāng)?shù)列前n項(xiàng)和S_n滿足2S_n=3ⁿ⁺¹-3（n∈Nⁿ）
（I）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（II）設(shè)c_n=a_nb_n，求數(shù)列{c_n）的前n項(xiàng)和T_n
（III）設(shè)dn=bn+(-1)n-1(2n+1+2)λ(n∈N*)，若d_2k+1＞d_2k對k∈N^*恒成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用a₂=9，a₁a₃=65可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；利用2S_n=3ⁿ⁺¹-3，再寫一式，兩式相減，可求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（II）利用錯(cuò)位相減法，可求數(shù)列{c_n）的前n項(xiàng)和T_n；
（III）dn=bn+(-1)n-1(2n+1+2)λ(n∈N*)，d_2k+1＞d_2k對k∈N^*恒成立，等價(jià)于λ＞-

32k

3×22k+2

對k∈N^*恒成立，求出右邊的最大值，即可求λ的取值范圍．

解答：解：（I）∵a₂=9，a₁a₃=65，∴（9-d）（9+d）=65，∴d=±4
∵d＞0，∴d=4，∴a₁=5，∴a_n=4n+1；
∵2S_n=3ⁿ⁺¹-3，∴n≥2時(shí)，b_n=S_n+1-S_n=3ⁿ
又n=1時(shí)，b₁=3，∴b_n=3ⁿ；
（II）c_n=a_nb_n=（4n+1）•3ⁿ
∴T_n=5×3+9×3²+…+（4n+1）•3ⁿ①
∴3T_n=5×3²+9×3³+…+（4n-3）•3ⁿ+（4n+1）•3ⁿ⁺¹②
②-①整理可得2T_n=-15-4×3²-4×3³-…-4•3ⁿ+（4n+1）•3ⁿ⁺¹=4+（4n-1）•3ⁿ⁺¹
∴T_n=

3

2

+

4n-1

2

×3n+1
（III）∵dn=bn+(-1)n-1(2n+1+2)λ(n∈N*)，d_2k+1＞d_2k對k∈N^*恒成立，
∴3^2k+1+（-1）^2k（2^2k+2+2）λ＞3^2k+（-1）^2k-1（2^2k+1+2）λ
∴λ＞-

32k

3×22k+2

對k∈N^*恒成立，
令f（k）=-

32k

3×22k+2

，則f（k+1）-f（k）=

32k

3×22k+2

-

32k+2

3×22k+2+2

=

-15×62k-16×32k

(3×22k+2)(3×22k+2+2)

＜0
∴函數(shù)是減函數(shù)，∴k=1時(shí)，f（k）_max=-

9

14

∴λ＞-

9

14

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查錯(cuò)位相減法，考查恒成立問題，分離參數(shù)，確定函數(shù)的最值是關(guān)鍵．