Question

（2012•成都一模）若函數(shù)f（x）滿(mǎn)足：在定義域D內(nèi)存在實(shí)數(shù)x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立，則稱(chēng)函數(shù)f（x）為“1的飽和函數(shù)”．有下列函數(shù)：
①f(x)=

1

x

；②f(x)=2x；
③f（x）=lg（x²+2）；
④f（x）=cosπx，
其中你認(rèn)為是“1的飽和函數(shù)”的所有函數(shù)的序號(hào)為

②④

．

Answer 1

分析：根據(jù)集合M的定義，可根據(jù)函數(shù)的解析式，f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）構(gòu)造方程，若方程有根，說(shuō)明函數(shù)符合集合M的定義，若方程無(wú)根，說(shuō)明函數(shù)不符號(hào)集合M的定義，由此對(duì)四個(gè)函數(shù)逐一進(jìn)行判斷，即可得到答案．

解答：解：（1）D=（-∞，0）∪（0，+∞），
若f（x）=

1

x

∈M，則存在非零實(shí)數(shù)x₀，使得

1

x0+1

=

1

x0

+1
即x₀²+x₀+1=0，
因?yàn)榇朔匠虩o(wú)實(shí)數(shù)解，所以函數(shù)f（x）=

1

x

∉M．
（2）D=R，則存在實(shí)數(shù)x₀，使得2x0+1=2x0+2解得x₀=1，因?yàn)榇朔匠逃袑?shí)數(shù)解，
所以函數(shù)f（x）=2^x∈M．
（3）若存在x，使f（x+1）=f（x）+f（1）
則lg[（x+1）²+2]=lg（x²+2）+lg3
即2x²-2x+3=0，
∵△=4-24=-20＜0，故方程無(wú)解．即f（x）=lg（x²+2）∉M
④存在x=

1

3

使f（x+1）=cosπ（x+1）=f（x）+f（1）=cosπx+cosπ成立，即f（x）=cosπx∈M；
綜上可知②④中的函數(shù)屬于集合
故答案為：②④

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是元素與集合關(guān)系的判斷，及其它方程的解法，掌握判斷元素與集合關(guān)系的方法，即元素是否滿(mǎn)足集合的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．