Question

已知函數(shù)f（x）=x²-（2a-1）x-3
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，若∈[-2，3]，求函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在[-2，3]上的最小值為g（a）．
①求函數(shù)g（a）的表達(dá)式；
②是否存在實(shí)數(shù)a，使得g（a）=1，若存在，求出實(shí)數(shù)a的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的零點(diǎn)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)f（x）=(x-

3

2

)2-

21

4

，若x∈[-2，3]，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得它的最值，可得函數(shù)的值域．
（Ⅱ）由 f（x）=(x-

2a-1

2

)2-

4a2-4a+13

4

，x∈[-2，3]，再分對(duì)稱軸在此區(qū)間的左側(cè)、中間、由側(cè)三種情況，分別求得f（x）得最小值g（a）的解析式，根據(jù)g（a）=1，分類討論，分別求得a的值，綜合可得結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)f（x）=x²-3x-3=(x-

3

2

)2-

21

4

，若x∈[-2，3]，
則函數(shù)f（x）的最小值為f（

3

2

）=-

21

4

；最大值為f（-2）=7，故函數(shù)的值域?yàn)閇-

21

4

，7]．
（Ⅱ）∵f（x）=x²-（2a-1）x-3=(x-

2a-1

2

)2-

4a2-4a+13

4

，x∈[-2，3]，
（1）當(dāng)

2a-1

2

≤-2，即a≤-

3

2

時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為f（-2）=4a-1；
（2）當(dāng)-2＜

2a-1

2

≤3，即-

3

2

＜a≤

7

2

時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為f（

2a-1

2

）=-

4a2-4a+13

4

；
（3）當(dāng)

2a-1

2

＞3，即a＞

7

2

時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為f（3）=9-6a；
綜上可得，①g（a）=

4a-1，a≤- 3 2 - 4a2-4a+13 4 ，- 3 2 ＜a≤ 7 2 9-9a，a＞ 7 2

．
②當(dāng)a≤-

3

2

時(shí)，由4a-1=1，得a=

1

2

，∴此時(shí)a∈∅；
當(dāng)-

3

2

＜a≤

7

2

時(shí)，由-

4a2-4a+13

4

=1，得4a²-4a+17=0，∵△＜0得a∈∅，∴此時(shí)a∈∅；
當(dāng)a＞

7

2

時(shí)，由9-6a=1，得a=

4

3

，∴此時(shí)，a∈∅；
綜上，不存在實(shí)數(shù)a，使得g（a）=1成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬基礎(chǔ)題．