Question

【題目】如圖，三棱柱中，，，.

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）若平面平面，，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2） .

【解析】

（Ⅰ）取AB的中點(diǎn)O，連接OC，OA1，A1B，由已知可證OA1⊥AB，AB⊥平面OA1C，進(jìn)而可得AB⊥A1C；

（Ⅱ）易證OA，OA1，OC兩兩垂直．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正向，||為單位長，建立坐標(biāo)系，可得，，的坐標(biāo)，設(shè)=（x，y，z）為平面BB1C1C的法向量，則，可解得=（，1，﹣1），可求|cos＜，＞|，即為所求正弦值．

（Ⅰ）取AB的中點(diǎn)O，連結(jié)OC，，.

因?yàn)?/span>，所以.

由于，，故為等邊三角形，所以.

因?yàn)?/span>，所以平面.

又平面，故.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，.

又平面平面，交線為，所以平面，故，，兩兩相互垂直.

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

由題設(shè)知，，，.

則，，.

設(shè)是平面的法向量，

則 即 可取.

故 ，

所以與平面所成角的正弦值為.