Question

為提高某籃球運(yùn)動(dòng)員的投籃水平，教練對(duì)其平時(shí)訓(xùn)練的表現(xiàn)作以詳細(xì)的數(shù)據(jù)記錄：每次投中記l分，投不中記一1分，統(tǒng)計(jì)平時(shí)的數(shù)據(jù)得如圖所示頻率分布條形圖．若在某場(chǎng)訓(xùn)練中，該運(yùn)動(dòng)員前n次投籃所得總分?jǐn)?shù)為s_n，且每次投籃是否命中相互之間沒(méi)有影響．
（1）若設(shè)ξ=|S₃|，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（2）求出現(xiàn)S₈=2且S_i≥0（i=1，2，3）的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知每次投籃是否命中相互之間沒(méi)有影響，且每次發(fā)生的概率不變，本題可以看做一個(gè)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)根據(jù)題意分析可知ξ的取值分別為1，3，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件寫(xiě)出分布列和期望．
（Ⅱ）由題意知包含兩種情況，這兩種情況是互斥的，第一種情況是第一次投中，第二次未投中，第三次投中，后五次中任意兩次未投中．第二種情況：第一次和第二次都投中，后六次中任意三次未投中．根據(jù)概率公式得到結(jié)果．

解答：解：（Ⅰ）由題意知每次投籃是否命中相互之間沒(méi)有影響，且每次發(fā)生的概率不變，
本題可以看做一個(gè)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)
分析可知ξ的取值分別為1，3
∴P(ξ=1)=

C

2 3

(

1

3

)2(

2

3

)+

C

2 3

(

2

3

)2(

1

3

)=

2

3

P(ξ=3)=(

1

3

)3+(

2

3

)3=

1

3

∴ξ的分布列為

Eξ=1×

2

3

+3×

1

3

=

5

3

（Ⅱ）若S₈=2，說(shuō)明前八次投籃中，五次投中三次未投中，又S_i≥0（I=1，2，3）
∴包含兩種情況，這兩種情況是互斥的，
第一種情況：第一次投中，第二次未投中，第三次投中，后五次中任意兩次未投中．
此時(shí)的概率為P1=(

2

3

)(

1

3

)(

2

3

)

C

2 5

(

1

3

)2(

2

3

)3=

C

2 5

(

2

3

)5(

1

3

)3
第二種情況：第一次和第二次都投中，后六次中任意三次未投中．此時(shí)的概率為
P2=(

2

3

)(

2

3

)

C

3 6

(

1

3

)3(

2

3

)3=

C

3 6

(

2

3

)5×(

1

3

)3．
∴出現(xiàn)S₈=2且S_i≥0（I=1，2，3）的概率為：P=P1+P2=

320

37

=

320

2187

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)分布和互斥事件的概率，是一個(gè)綜合題，解題的關(guān)鍵是分析本題符合什么規(guī)律，利用規(guī)律解題要簡(jiǎn)單得多．