Question

（本小題滿(mǎn)分13分）已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓過(guò)點(diǎn)，離心率．

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖，動(dòng)直線(xiàn)與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，

求，滿(mǎn)足的關(guān)系式；

如圖，、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，作，，垂足分別為、，四邊形的面積是否存在最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1），（2），（3），

【解析】

試題分析：先利用短半軸和離心率求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后把直線(xiàn)和橢圓方程聯(lián)立方程組消去得關(guān)于

的一元二次方程，由于直線(xiàn)與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，因此判別式為零，求出，滿(mǎn)足的關(guān)系式；最后一步分別求出兩焦點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，利用和直線(xiàn)的斜率表示的長(zhǎng)，從而寫(xiě)出梯形的面積，利用進(jìn)行減元，用表示面積，最后根據(jù)，求出面積的最大值即可；

試題解析：(1)設(shè)橢圓的方程，，，所以橢圓C的方程為.

(2)(ⅰ)將直線(xiàn)的方程代入橢圓方程中得;

,由于直線(xiàn)與橢圓C僅有一個(gè)公共點(diǎn)知：

，化簡(jiǎn)得：.

(ⅱ)設(shè)，當(dāng)時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為，則

，

，當(dāng)時(shí)，

，又當(dāng)時(shí)，四邊形為矩形，，所以四邊形面積的最大

值為.

考點(diǎn)：直線(xiàn)與橢圓問(wèn)題