Question

已知關(guān)于x的二次函數(shù)f（x）=ax²-4bx+1．
（1）設(shè)集合P={-1，2，3}和Q={-2，1，2}，分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為a和b，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率；
（2）設(shè)點(diǎn)（a，b）是區(qū)域

x+y-6≤0 x＞0 y＞0

內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率．

Answer 1

分析：（1）若y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，則由二次函數(shù)的性質(zhì)可得a＞0且

2b

a

≤1成立，即a＞0且2b≤a．因?yàn)閺募�合P和Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為a和b，總共有9個(gè)基本事件，而符合條件的基本事件有4個(gè)，所以根據(jù)隨機(jī)事件的概率公式，可得所求事件的概率為

4

9

；
（2）作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，以及區(qū)域內(nèi)符合a＞0且2b≤a的部分，得到如圖所示的△OAB、△OAC及其內(nèi)部．再根據(jù)幾何概型公式，用△OAC的面積除以△OAB的面積即可得到所求的概率．

解答：解：（1）分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為a和b，有（-1，-2）、（-1，1）、（-1，2）、
（2，-2）、（2，1）、（2，2）、（3，-2）、（3，1）和（3，2）共9個(gè)基本事件．
∵二次函數(shù)f（x）=ax²-4bx+1的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x=

2b

a

，要使函數(shù)f（x）=ax²-4bx+1在區(qū)間
[1，+∞）上為增函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a＞0且

2b

a

≤1成立，即a＞0且2b≤a．
若a=2，則b=-2或1；若a=3，則b=-2或1．
由此可得滿(mǎn)足條件的基本事件包含基本事件的個(gè)數(shù)是2+2=4．
∴函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率為P=

4

9

；
（2）由（1）知當(dāng)且僅當(dāng)a＞0且2b≤a時(shí)，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)．
根據(jù)題意全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)闈M(mǎn)足不等式

x+y-6≤0 x＞0 y＞0

的實(shí)數(shù)對(duì)（a，b）構(gòu)成的集合，相應(yīng)的區(qū)域?yàn)槿缬覉D的△OAB及其內(nèi)部．
其中符合“函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)”的實(shí)數(shù)對(duì)（a，b），滿(mǎn)足不等式

a+b-6＜0 a＞0且b＞0 2b≤a

，相應(yīng)的區(qū)域?yàn)槿缬覉D的△OAC及其內(nèi)部．
∵A（6，0），B（0，6），C（4，2），
∴S_△OAB=

1

2

×6×6=18，S_△OAC=

1

2

×6×2=6
∴所求事件的概率為P=

S△OAC

S△OAB

=

6

18

=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出含有字母參數(shù)的二次函數(shù)，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率．著重考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和幾何概型計(jì)算公式等知識(shí)，屬于中檔題．