Question

已知關(guān)于x的二次函數(shù)f（x）=ax²-4bx+1
（Ⅰ）設(shè)集合P={1，2，3}，集合Q={-1，1，2，3，4}，從集合P中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為a，從集合Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為b，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)（a，b）是區(qū)域

x+y-8≤0 x＞0 y＞0

內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)古典概率的概率公式進(jìn)行計(jì)算即可求出概率．
（Ⅱ）根據(jù)幾何概型的概率公式進(jìn)行計(jì)算即可．

解答：解（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=ax²-4bx+1的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x=

2b

a

，
要使f（x）=ax²-4bx+1在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)，
當(dāng)且僅當(dāng)a＞0且x=

2b

a

≤1，
即2b≤a．
若a=1，則b=-1；
若a=2，則b=-1，1；
若a=3，則b=-1，1，
∴事件包含基本事件的個(gè)數(shù)是1+2+2=5
∴所求事件的概率為

5

15

=

1

3

．
（Ⅱ）由（1）知當(dāng)且僅當(dāng)2b≤a．且a＞0時(shí)，
函數(shù)f（x）=ax²-4bx+1在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)，
依條件可知試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧(a，b)|

a+b-8≤0 a＞0 b＞0

}
構(gòu)成所求事件的區(qū)域?yàn)槿�角形部分�?br />由

a+b-8=0 b= a 2

，解得a=

16

3

，b=

8

3

，即交點(diǎn)坐標(biāo)（

16

3

，

8

3

），
∴所求事件的概率為P=

1 2 ×8× 8 3

1 2 ×8×8

=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題只要考查概率的求法，要求熟練掌握古典概型和幾何概型的概率公式，注意它們之間的聯(lián)系和區(qū)別．