已知數(shù)列｛an｝, a1＝cosθ,a2＝cos2θ, an+2＝2an+1cosθ-an, 則

an＝cosnθ

(    )

答案：T
解析：

 證明:(1)當(dāng)n＝1, n＝2時, 命題顯然成立.

     (2)假設(shè)n＝k-1, k(k≥2)時, 命題成立.

     即 ak-1＝cos(k-1)θ, aK＝coskθ

     當(dāng)n＝k+1時,

     ∵  ak+1＝2akcosθ-ak-1

       ＝2coskθ·cosθ-cos(k-1)θ

       ＝coskθ·cosθ-sinkθsinθ＝cos(k+1)θ

     ∴  n＝k+1時命題仍然成立.

     根據(jù)(1),(2), ∴ 對于一切 n∈N,命題成立.


提示：

用數(shù)學(xué)歸納法證明. 因?yàn)樵谧C第二步時應(yīng)用的遞推關(guān)系是: ak+1＝2akcosθ-ak-1 所以在證明第一步時, 需驗(yàn)證n＝1和n＝2時命題成立.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列（an}滿足：a1=
1
2
，an+1=
n+1
2n
an，數(shù)列{bn}滿足nbn=an（n∈N*）．
（1）證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式：
（2）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn
（3）在（2）的條件下，若集合{n|
(n2+n)(2-Sn)
n+2
≥λ，n∈N*}=∅．求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{log2(an-2)}(n∈N*)為等差數(shù)列，且a1=5，a3=29．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）對任意n∈N*，
1
a2-a1
+
1
a3-a2
+…+
1
an+1-an
＜m恒成立的實(shí)數(shù)m是否存在最小值？如果存在，求出m的最小值；如果不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn=-
1
2
n2+kn（其中k∈N*），且Sn的最大值為8．
（Ⅰ）確定常數(shù)k并求{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若bn=9-2an，求數(shù)列{
1
bnbn+1
}前n項(xiàng)和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{log2(an-1)}(n∈N+)為等差數(shù)列，且a1=3，a2=5，則
1
a2-a1
+
1
a3-a2
+…+
1
an+1-an
=（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列中{an}中a1=3，a2=5，其前n項(xiàng)和為Sn，滿足Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1(n≥3)．
（1）試求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）令bn=
2n-1
an•an+1
，Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，證明：Tn＜
1
6
．

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