Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁=BC₁=

2

，BC=2，△ABC是以BC為底邊的等腰三角形，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，E、F分別為棱AB、CC₁的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面A₁BC₁
（2）若AC≤CC₁，且EF與平面ACC₁A₁所成的角的正弦值為

2

3

，求二面角C-AA₁-B的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）利用線面平行的判定定理可證明EF∥面A₁BC₁；
（2）分別求出平面ACC₁A₁的一個法向量和平面AA₁B的一個法向量，利用向量法能求出二面角C-AA₁-B的余弦值．

解答： （1）證明：取A₁B的中點(diǎn)D，連接ED，DC₁，
則ED∥AA₁，ED=

1

2

AA₁，
∵F為CC₁上的動點(diǎn)，∴ED∥FC₁，ED=FC₁，
∴四邊形DEFC₁是平行四邊形
∴EF∥DC₁，
∴EF?平面A₁BC₁，DC₁?平面A₁BC₁，
∴EF∥平面A₁BC₁；
（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)C、OC₁、OA為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∴C（1，0，0），C₁（0，1，0），A（0，0，b），A₁（-1，1，b），
設(shè)平面ACC₁A₁的一個法向量為

n

=（x，y，z）
∵

CC1

=（-1，1，0），

AC

=（1，0，-b），
∴

-x+y=0 x-bz=0

，令z=1，則

n

=（b，b，1），
又

EF

=（1，

1

2

，-

b

2

），EF與平面ACC₁A₁所成的角的正弦值為

2

3

，
∴

b

2b2+1 • 5 4 + b2 4

=

2

3

，
解得b=1，或b=

10

2

，
∵AC≤CC₁，∴b=1
∴

n

=（1，1，1）．
同理可求得平面AA₁B的一個法向量

m

=（1，1，-1），
∴cos＜

n

，

m

＞=

1+1-1

3 • 3

=

1

3

，
又二面角C-AA₁-B為銳二面角，故余弦值為

1

3

．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．