Question

已知拋物線(xiàn)D的頂點(diǎn)是橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的中心，焦點(diǎn)與該橢圓的右焦點(diǎn)重合．
（1）求拋物線(xiàn)D的方程；
（2）已知直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P（4，0）交拋物線(xiàn)于A，B兩點(diǎn)，是否存在垂直于x軸的直線(xiàn)x=m被以AP為直徑的圓M所截得的弦長(zhǎng)恒為定值？如果存在，求出直線(xiàn)x=m的方程；如果不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）確定橢圓的幾何量，求出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到拋物線(xiàn)D的方程；
（2）確定M的坐標(biāo)，過(guò)M作直線(xiàn)x=a的垂線(xiàn)，垂足為E，故|EG|²=|MG|²-|ME|²，由此即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）由題意，可設(shè)拋物線(xiàn)方程為y²=2px（p＞0）
橢圓

x2

4

+

y2

3

=1中a²-b²=4-3=1，得c=1，∴拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為（1，0），
∴

p

2

=1，∴p=2，
∴拋物線(xiàn)D的方程為y²=4x；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），則圓心M（

x1+4

2

，

y1

2

），
過(guò)M作直線(xiàn)x=m的垂線(xiàn)，垂足為E，設(shè)直線(xiàn)m與圓M的一個(gè)交點(diǎn)為G，可得：|EG|²=|MG|²-|ME|²，
即|EG|²=|MA|²-|ME|²=

(x1-4)2+y12

4

-（

x1+4

2

-m）²=

1

4

y12+

(x1-4)2-(x1+4)2

4

+m（x₁+4）-m²
=（m-3）x₁+4m-m²，
當(dāng)m=3時(shí)，|EG|²=3，此時(shí)直線(xiàn)m被以AP為直徑的圓M所截得的弦長(zhǎng)恒為定值2

3

因此存在直線(xiàn)x=3滿(mǎn)足題意．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，考查弦長(zhǎng)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求解，屬于中檔題．