Question

在等比數(shù)列{an}中，a1+a7=65，a3a5=64，且an+1＜an，n∈N*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{a_n}的前5項的和S₅
（3）若T_n=lga₂+lga₄+…+lga_2n，求T_n的最大值及此時n的值．

Answer 1

（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q．
由等比數(shù)列性質(zhì)可知：a₁a₇=a₃a₅=64，
而a₁+a₇=65，a_n+1＜a_n．
∴a₁=64，a₇=1，（3  分）
由64q⁶=1，得q=

1

2

，或q=-

1

2

（舍），（5  分）
故an=27-n．（7  分）
（2）等比數(shù)列{a_n}中，
∵a₁=64，q=

1

2

，
∴S5=

64×[1-( 1 2 )5]

1- 1 2

=124．（9  分）
（3）∵bn=a2n=27-2n

∴Tn=lgb1+lgb2+…+lgbn =lg(b1b2…bn)

（10分）
=（-n²+6n）lg2=[-（n-3）²+9]lg2（12  分）
∴當(dāng)n=3時，T_n的最大值為9lg2．（14分）