Question

已知A、B分別在射線CM、CN（不含端點(diǎn)C）上運(yùn)動，∠MCN=

2

3

π，在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c．
（1）若b-a=c-b=2．求c的值；
（2）若c=

3

，∠ABC=θ，試用θ表示△ABC的周長，并求周長的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

專題：解三角形

分析：（1）根據(jù)b-a=c-b=2．用c表示a，b，利用余弦定理即可求c的值；
（2）根據(jù)正弦定理求出AC，BC的長度，即可求出周長的最大值．

解答： 解：（1）∵b-a=c-b=2，
∴b=c-2，a=b-2=c-4＞0，∴c＞4．
∵∠MCN=

2

3

π，
∴由余弦定理得c²=a²+b²-2abcos

2

3

π，
即c²=（c-4）²+（c-2）²-2（c-4）（c-2）×（-

1

2

），
整理得 c²-9c+14=0，解得c=7，或c=2．
又∵c＞4，∴c=7．
（2）在△ABC中，由正弦定理可得

AC

sin∠ABC

=

BC

sn∠BAC

=

AB

sin∠ACB

，
即

AC

sinθ

=

BC

sin( π 3 -θ)

=

3

sin 2π 3

=2，
則AC=2sinθ，BC=2sin（

π

3

-θ）．
∴△ABC的周長f（θ）=|AC|+|BC|+|AB|=2sinθ+2sin（

π

3

-θ）+

3

=2sin（θ+

π

3

）+

3

．
又∵θ∈（0，

π

3

），∴

π

3

＜θ+

π

3

＜

2

3

π，
∴當(dāng)θ+

π

3

=

π

2

，即θ=

π

6

時(shí)，f（θ）取得最大值2+

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，正弦函數(shù)的定義域和值域，利用輔助角公式是解決本題的關(guān)鍵．