Question

【題目】設(shè)拋物線(xiàn)C：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)為l，A為C上一點(diǎn)，已知以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓F交l于B，D兩點(diǎn)．
（1）若p=2且∠BFD=90°時(shí)，求圓F的方程；
（2）若A，B，F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線(xiàn)m上，設(shè)直線(xiàn)m與拋物線(xiàn)C的另一個(gè)交點(diǎn)為E，在y軸上求一點(diǎn)G，使得∠OGE=∠OGA．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得F（0，1），△BFD為等腰直角三角形，|BD|=4，

⊙F的半徑|FB|=2 ，

∴⊙F的方程是x2+（y﹣1）2=8；

（2）解：∵A，B，F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線(xiàn)m上，

∴AB是⊙F的直徑，∠ADB=90°，

由拋物線(xiàn)的定義得|AD|=|FA|= |AB|，

∴∠ABD=30°，m的斜率是 或﹣ ，

①當(dāng)m的斜率是 時(shí)，直線(xiàn)m的方程是：y= x+ ，

代入x2=2py，x2﹣ px﹣p2=0，（△＞0），

解得：x1= p，x2=﹣ p，

不妨記A（ p， p），E（﹣ p， ），并設(shè)G（0，y0），

∵∠OGE=∠OGA，∴KGE+KGA=0，

即 + =0，解得：y0=﹣ ，

②當(dāng)m的斜率為﹣ 時(shí)，由圖象的對(duì)稱(chēng)性可知G（0，﹣ ），

綜上，點(diǎn)G的坐標(biāo)是（0，﹣ ）．

【解析】（1）求出圓的半徑，從而求出圓的方程；（2）由拋物線(xiàn)的定義得|AD|=|FA|= |AB|，從而求出m，代入拋物線(xiàn)進(jìn)而求出G的坐標(biāo)．