已知圓C:x2+y2-2x+4y-4=0,直線l:y=x+b.
(1)若直線l與圓C相切,求實數(shù)b的值;
(2)是否存在直線l,使l與圓C交于A、B兩點,且以AB為直徑的圓過原點.如果存在,求出直線l的方程,如果不存在,請說明理由.
分析:(1)直線l與圓C相切,圓心(1,-2)到l的距離d=r,建立方程,可求實數(shù)b的值;
(2)假設(shè)垂直.將直線方程代入圓的方程,利用韋達(dá)定理,及以AB為直徑的圓過原點,可得關(guān)于b的方程,即可求解,注意方程判別式的驗證
解答:解:(1)由x2+y2-2x+4y-4=0,整理得(x-1)2+(y+2)2=9.…(2分)
若直線l和圓C相切,則有圓心(1,-2)到l的距離d=r,
即 
|3+b|
2
=3
,∴b=-3±3
2
.…(4分)
(2)設(shè)存在滿足條件的直線l,
y=x+b
x2+y2-2x+4y-4=0.
消去y,得2x2+(2+2b)x+b2+4b-4=0①…(6分)
設(shè)直線l和圓C的交點為A (x1,y1),B(x2,y2),則x1、x2是①的兩個根.
x1x2=
b2+4b-4
2
,x1+x2=-b-1.             ②…(8分)
由題意有:OA⊥OB,即x1x2+y1y2=0,
∴x1x2+(x1+b)(x2+b)=0,即2x1x2+b(x1+x2)+b2=0
將②代入③得:b2+3b-4=0.                  …(12分)
解得:b=1或b=-4,
b=1時,方程為2x2+4x+1=0,判別式△=16-8>0,滿足題意
b=-4時,方程為2x2-6x-4=0,判別式△=36+32>0,滿足題意
所以滿足條件的直線l為:y=x+1或y=x-4.       …(14分)
點評:本題綜合考查直線與圓的位置關(guān)系,考查直線與圓相切、相交,充分利用圓的性質(zhì)是我們解題的上策.
練習(xí)冊系列答案
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已知圓C:x2+y2-6x-4y+8=0.以圓C與坐標(biāo)軸的交點分別作為雙曲線的一個焦點和頂點,則適合上述條件雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
 

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(1)一個圓與x軸相切,圓心在直線3x-y=0上,且被直線x-y=0所截得的弦長為2
7
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(2009•普陀區(qū)一模)如圖,已知圓C:x2+y2=r2與x軸負(fù)半軸的交點為A.由點A出發(fā)的射線l的斜率為k,且k為有理數(shù).射線l與圓C相交于另一點B.
(1)當(dāng)r=1時,試用k表示點B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)r=1時,試證明:點B一定是單位圓C上的有理點;(說明:坐標(biāo)平面上,橫、縱坐標(biāo)都為有理數(shù)的點為有理點.我們知道,一個有理數(shù)可以表示為
qp
,其中p、q均為整數(shù)且p、q互質(zhì))
(3)定義:實半軸長a、虛半軸長b和半焦距c都是正整數(shù)的雙曲線為“整勾股雙曲線”.
當(dāng)0<k<1時,是否能構(gòu)造“整勾股雙曲線”,它的實半軸長、虛半軸長和半焦距的長恰可由點B的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和半徑r的數(shù)值構(gòu)成?若能,請嘗試探索其構(gòu)造方法;若不能,試簡述你的理由.

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(2012•瀘州一模)已知圓C:x2+y2=r2(r>0)與拋物線y2=40x的準(zhǔn)線相切,若直線l:
x
a
y
b
=1
與圓C有公共點,且公共點都為整點(整點是指橫坐標(biāo).縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點),那么直線l共有( 。

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已知圓C:x2+y2=4與直線L:x+y+a=0相切,則a=(  )

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