Question

1．若函數(shù)f（x）在定義域D內(nèi)的某個區(qū)間I上是增函數(shù)，且F（x）=$\frac{f（x）}{x}$在I上也是增函數(shù)，則稱y=f（x）是I上的“完美增函數(shù)”．已知f（x）=e^x+x，g（x）=e^x+x-lnx+1．
（1）判斷函數(shù)f（x）是否為區(qū)間（0，+∞）上的“完美增函數(shù)”；
（2）若函數(shù)g（x）是區(qū)間$[{\frac{m}{2}，+∞}）$上的“完美增函數(shù)”，求整數(shù)m的最小值．

Answer 1

分析 （1）證明f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，F(xiàn)（x））在區(qū)間（0，+∞）上不一定是增函數(shù)，即可得出函數(shù)f（x）是否為區(qū)間（0，+∞）上的“完美增函數(shù)”；
（2）g（x）=e^x+x-lnx+1，與G（x）=$\frac{g（x）}{x}$在[$\frac{3}{2}$，+∞）上都是單調(diào)遞增函數(shù)，即可求整數(shù)m的最小值．

解答 解：（1）∵f（x）=e^x+x，∴f′（x）=e^x+1＞0，
∴f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，
∵F（x）=$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{{e}^{x}}{x}$+1，
∴F′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$≥0）在區(qū)間（0，+∞）上不恒成立，
∴F（x））在區(qū)間（0，+∞）上不一定是增函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）不是區(qū)間（0，+∞）上的“完美增函數(shù)”；
（2）∵g（x）=e^x+x-lnx+1，x＞0，
∴g′（x）=e^x+1-$\frac{1}{x}$在（0，+∞）單調(diào)遞增，g′（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{e}$-1＞0，
∴可以得出：g（x）在[$\frac{1}{2}$，+∞）上是單調(diào)遞增．
∵G（x）=$\frac{{e}^{x}+x-lnx+1}{x}$，
∴G′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）+lnx-2}{{x}^{2}}$，x＞0，
設(shè)m（x）=xe^x-e^x-2+lnx，
m′（x）=xe^x+$\frac{1}{x}$＞0，m（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
m（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$${e}^{\frac{1}{2}}$-2-ln2＜0，m（1）=e-e-2+0=-2＜0，
m（$\frac{3}{2}$）=$\frac{1}{2}{e}^{\frac{3}{2}}$-2+ln（$\frac{3}{2}$）＞0（根據(jù)圖象判斷）
∴在[$\frac{3}{2}$，+∞）上，有G′（x）＞0成立，
∴函數(shù)G（x）=$\frac{g（x）}{x}$在[$\frac{3}{2}$，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，
綜合判斷：g（x）=e^x+x-lnx+1，與G（x）=$\frac{g（x）}{x}$在[$\frac{3}{2}$，+∞）上都是單調(diào)遞增函數(shù)，
g（x）=e^x+x-lnx+1，與G（x）=$\frac{g（x）}{x}$在[1，+∞）上不是都為單調(diào)遞增函數(shù)，
∵函數(shù)g（x）是區(qū)間$[{\frac{m}{2}，+∞}）$上的“完美函數(shù)”，
∴m≥3，
即整數(shù)m最小值為3．

點評 本題以新定義的形式考查函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)用所學(xué)知識分析解決新問題的能力，多次構(gòu)造函數(shù)，求解導(dǎo)數(shù)，判斷的遞增，思路要清晰，屬于難題．