Question

19．給出下列四個(gè)不等式：①當(dāng)x∈R時(shí)，sin x+cos x＞-$\frac{3}{2}$；②對于正實(shí)數(shù)x，y及任意實(shí)數(shù)α，有xsin2α•ycos2α＜x+y；③x是非0實(shí)數(shù)，則|x+$\frac{1}{x}$|≥2；④當(dāng)α，β∈（ 0，$\frac{π}{2}$）時(shí)，|sin α-sin β|≤|α-β|．在以上不等式中不成立的有（　�。�

• A． 0個(gè)
• B． 1個(gè)
• C． 2個(gè)
• D． 3個(gè)

Answer 1

分析 由條件利用不等式的基本性質(zhì)，正弦函數(shù)的單調(diào)性和值域，直線的斜率公式，判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論．

解答 解：∵sin x+cos x=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）≥-$\sqrt{2}$＞-$\frac{3}{2}$，故①正確；
②對于正實(shí)數(shù)x，y及任意實(shí)數(shù)α，有xsin2α•ycos2α=$\frac{xy}{2}$sin4α≤$\frac{xy}{2}$，但$\frac{xy}{2}$ 不一定小于x+y，例如當(dāng)x=y=10時(shí)，故②不正確；
③x是非0實(shí)數(shù)，則|x+$\frac{1}{x}$|=|x|+|$\frac{1}{x}$|≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=±1時(shí)，取等號，故③正確；
④由于函數(shù)y=sinx在（0，$\frac{π}{2}$）上單調(diào)遞增，y=cosx＜1，故函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)連線的斜率大于零且小于1，
當(dāng)α，β∈（ 0，$\frac{π}{2}$），且α≠β時(shí)，0＜$\frac{sinα-sinβ}{α-β}$＜1，∴$\frac{|sinα-sinβ|}{|α-β|}$＜1，∴|sin α-sin β|＜|α-β|，故④正確，
故選：B．

點(diǎn)評 本題主要考查不等式的基本性質(zhì)，正弦函數(shù)的單調(diào)性和值域，直線的斜率公式，屬于基礎(chǔ)題．