Question

已知函數(shù)f(x)=

eax

x2+ x a + 1 a

-

3e2

49

(a∈R，a≠0，)，g(x)=bx(b∈R)．
（1）當a＞

1

4

時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當a=1時，若在區(qū)間[2，+∞）上存在一點x₀，使得f（x₀）＜g（x₀）成立，求b的取值范圍．

Answer 1

（1）f′(x)=

eax(ax2-x+ a-1 a )

(x2+ x a + 1 a )2

，因e^ax＞0且a＞

1

4

，故只需討論ax2-x+

a-1

a

的符號
所以 ①當a≥

5

4

時，f′（x）≥0，f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上為增函數(shù)
②當

1

4

＜a＜

5

4

時，令f′（x）=0解得x1=

1- 5-4a

2a

，x2=

1+ 5-4a

2a

．
當x變化時，f'（x）和f（x）的變化情況如下表：

x	(-∞， 1- 5-4a 2a )	1- 5-4a 2a	( 1- 5-4a 2a ， 1+ 5-4a 2a )	1+ 5-4a 2a	( 1+ 5-4a 2a ，+∞)
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴f（x）在(-∞，

1- 5-4a

2a

)，(

1+ 5-4a

2a

，+∞)，為增函數(shù)，
f（x）在(

1- 5-4a

2a

，

1+ 5-4a

2a

)為減函數(shù)．                           …（6分）
（2）考查反面情況：?x∈[2，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，
即h(x)=

ex

x2+x+1

-

3e2

49

-bx≥0在x∈[2，+∞）上恒成立．
首先h(2)=

e2

7

-

3e2

49

-2b≥0，即b≤

2e2

49

，其次，h′(x)=

ex(x2-x)

(x2+x+1)

-b，考慮M(x)=

ex(x2-x)

(x2+x+1)

因M′(x)=

ex(x2+x+1)[x3(x-2)+3x2+2x-1]

(x2+x+1)4

＞0在x∈[2，+∞）上恒成立，
所以M(x)≥M(2)=

2e2

49

，
所以當b≤

2e2

49

時，h′(x)=

ex(x2-x)

(x2+x+1)

-b≥

2e2

49

-b≥0，故h（x）在x∈[2，+∞）上單調(diào)遞增，
又h（2）≥0，所以h(x)=

ex

x2+x+1

-

3e2

49

-bx≥0在x∈[2，+∞）上恒成立，所以b≤

2e2

49

，
綜上b＞

2e2

49

…（14分）