Question

定義在[0，2]上的函數f（x）=

-x2+2x，x∈[0，1] log2x+1，x∈(1，2]

，若不等式[f（x）]²-af（x）+3＞0恒成立，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：分段函數的應用

專題：綜合題,函數的性質及應用

分析：先確定f（x）∈[0，2]，再分類討論，利用基本不等式，即可得出結論．

解答： 解：∵定義在[0，2]上的函數f（x）=

-x2+2x，x∈[0，1] log2x+1，x∈(1，2]

，
∴函數在[0，2]上為增函數，
∴f（x）∈[0，2]．
f（x）=0時，不等式[f（x）]²-af（x）+3=3＞0恒成立；
f（x）≠0時，f（x）＞0，不等式[f（x）]²-af（x）+3＞0可化為a＜f（x）+

3

f(x)

∵f（x）+

3

f(x)

≥2

3

，當且僅當f（x）=

3

f(x)

，即f（x）=

3

時等號成立，
∴a＜2

3

．
故答案為：a＜2

3

．

點評：本題考查分段函數的應用，考查基本不等式的運用，正確分離參數是關鍵．