Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)（a為常數(shù)），曲線y＝f（x）在與y軸的交點A處的切線斜率為－1．

（Ⅰ）求a的值及函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；

（Ⅱ）證明：當時，；

（Ⅲ）證明：當時，．

Answer 1

（Ⅰ） 函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，在上單調遞增；

（Ⅱ） 詳見解析；（Ⅲ）詳見解析．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）先求函數(shù)的導數(shù)，得．然后由題設列方程確定 的值并進一步利用導數(shù)的符號求出函數(shù)的單調區(qū)間；

（Ⅱ） 令，則 ，結合（I）的結果證明即可; （Ⅲ）構造函數(shù) 結合（II）的結果，利用導數(shù)證明，從而有即，由此構造一組不等式證明結論成立．

試題解析：【解析】
（Ⅰ）由，得．

又，所以．所以，．

由，得．

所以函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，在上單調遞增． （4分）

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知．

所以，即，．

令，則．

所以在上單調遞增，所以，即． （8分）

（Ⅲ）首先證明：當時，恒有．

證明如下：令，則．

由（Ⅱ）知，當時，，所以，所以在上單調遞增，

所以，所以．

所以，即．

依次取，代入上式，則

，

，

．

以上各式相加，有

所以，

所以，即． （14分）

另【解析】
用數(shù)學歸納法證明（略）

考點：1、導數(shù)在研究函數(shù)性質中的應用．2、構造函數(shù)證明不等式．