Question

已知．
（1）當m=1，α=2時
（i）求證：對于給定的x₀∈[0，1），不等式f（x）-f（x₀）≤（x-x₀）f'（x₀）對于x∈[0，1）恒成立；
（ii）若實數(shù)a、b、c∈[0，+∞），且a+b+c=1，求f（a）+f（b）+f（c）的最大值．
（2）當α=1時，若對x∈[1，+∞）恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

（1）（i）證明：當m=1，α=2時，，
∴f（x）-f（x₀）≤（x-x₀）×
不妨設x＞x₀，∵x₀∈[0，1），∴1-xx₀＜，1+x²＞
∴f（x）-f（x₀）≤（x-x₀）×=（x-x₀）f'（x₀）
（ii）令x₀=，則
∴f（a）+f（b）+f（c）-3≤（a+b+c-1）=0
∴f（a）+f（b）+f（c）≤3=
∴f（a）+f（b）+f（c）的最大值為（當且僅當a=b=c=時取等號）．
（2）解：由題意m≥0，否則當x→+∞時，f（lnx）＜0，而矛盾
∴對x∈[1，+∞）恒成立，等價于對x∈[1，+∞）恒成立
等價于g（x）=xlnx+（1-x）（mlnx+1）≥0對x∈[1，+∞）恒成立
g′（x）=
若m≥1，則g′（x）≤0，∴g（x）≤g（1）=0矛盾；
若0≤m≤1，則g″（x）=
①若，則0≤m≤，∴g′（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，∴g′（x）≥g′（1）=0，
∴g（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，g（x）≥g（1）=0；
②若，則＜m≤1，∴g′（x）在[1，）上為減函數(shù)，在（，+∞）上為增函數(shù)
∴g′（x）_min=g′（）＞g′（1）=0，
∴g（x）在[1，）上為減函數(shù)，∴g（x）≤g（1）=0；
綜上知，實數(shù)m的取值范圍是[0，]．
分析：（1）（i）證明：當m=1，α=2時，f（x）-f（x₀）≤（x-x₀）×，由此可得結(jié)論；
（ii）令x₀=，則，相加，即可求f（a）+f（b）+f（c）的最大值．
（2）先判斷m≥0，進而對x∈[1，+∞）恒成立，等價于對x∈[1，+∞）恒成立，等價于g（x）=xlnx+（1-x）（mlnx+1）≥0對x∈[1，+∞）恒成立，分類討論，即可證得．
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查不等式的證明，考查恒成立問題，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．