本題有（1）、（2）、（3）三個選答題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題記分，作答時，先在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號填入括號中．
（1）選修4-2：矩陣與變換
已知二階矩陣M=
a1
3d
有特征值λ=-1及對應(yīng)的一個特征向量e1=
1
-3
．
（Ⅰ）求距陣M；
（Ⅱ）設(shè)曲線C在矩陣M的作用下得到的方程為x2+2y2=1，求曲線C的方程．
（2）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為
x=2+t
y=t+1
(t為參數(shù)），曲線P在以該直角坐標(biāo)系的原點O的為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系下的方程為p2-4pcosθ+3=0．
（Ⅰ）求曲線C的普通方程和曲線P的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)曲線C和曲線P的交點為A、B，求|AB|．
（3）選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-2|，不等式t≤f（x）在x∈R上恒成立．
（Ⅰ）求實數(shù)t的取值范圍；
（Ⅱ）記t的最大值為T，若正實數(shù)a、b、c滿足a2+b2+c2=T，求a+2b+c的最大值．
分析：（1）：（I）根據(jù)矩陣的特征值與特征向量的定義建立等式關(guān)系，解之即可求出a和d的值，從而求出矩陣M；
（II）設(shè)點A（x，y）為曲線C上的任一點，它在矩陣M的作用下得到的點為A'（x'，y'），然后建立等式關(guān)系，將A'（x'，y'）代入方程為x2+2y2=1進(jìn)行求解即可．

（2）（Ⅰ）曲線C的參數(shù)方程為
x=2+t
y=t+1
(t為參數(shù)），消去參數(shù)t即得普通方程，再根據(jù)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)方程的互化公式求得曲線C在極坐標(biāo)系中的方程．
（Ⅱ）由（I）把直線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，把曲線P的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，求出圓心到直線的距離，再根據(jù)圓的半徑，求出弦長．

（3）（I）首先已知不等式t≤f（x）在x∈R上恒成立，則可以求出f（x）的最小值，使得t≤f（x）min即可．
（II）由（Ⅰ）知，T=3，即a2+b2+c2=3．由柯西不等式知：（a+2b+c）2≤（a2+b2+c2）（12+22+12），即可求出a+2b+c的最大值．
解答：解：（1）（本小題滿分7分）選修4-2：矩陣與變換
（Ⅰ）依題意得：
a1
3d
1
-3
=(-1)
1
-3
，即
a-3=-1
3-3d=3
，…（2分）
解得
a=2
d=0
，所以M=
21
30
．…（3分）
（Ⅱ）設(shè)曲線C上一點P（x，y）在矩陣M的作用下得到曲線x2+2y2=1上一點P'（x'，y'），
則
x′
y′
=
21
30
x
y
，即
x′=2x+y
y′=3x
，…（5分）
又因為（x'）2+2（y'）2=1，所以（2x+y）2+2（3x）2=1，
整理得曲線C的方程為22x2+4xy+y2=1．…（7分）

（2）（本小題滿分7分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
（Ⅰ）曲線C的普通方程為x-y-1=0，曲線P的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-4x+3=0．…（3分）
（Ⅱ）曲線P可化為（x-2）2+y2=1，表示圓心在（2，0），半徑r=1的圓，
則圓心到直線C的距離為d=
|1|
2
=
2
2
，所以|AB|=2
r2-d2
=
2
．…（7分）

（3）（本小題滿分7分）選修4-5：不等式選講
（Ⅰ）不等式t≤f（x）在x∈R上恒成立，則t≤f（x）min，
又因為f（x）=|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，所以函數(shù)f（x）的最小值為3，
所以t的取值范圍為（-∞，3]．…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，T=3，即a2+b2+c2=3．
由柯西不等式知：（a+2b+c）2≤（a2+b2+c2）（12+22+12），則（a+2b+c）2≤18．
所以a+2b+c的最大值為2
3
，…（6分）
當(dāng)且僅當(dāng)a=
2
2
，b=
2
，c=
2
2
時等號成立．…（7分）
點評：（1）本小題主要考查矩陣與變換、曲線在矩陣變換下的曲線的方程，考查運(yùn)算求解能力及化歸與轉(zhuǎn)化思想．
（2）本小題主要考查曲線的參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程、直線的極坐標(biāo)方程等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想，屬于基礎(chǔ)題．
（3）此小題主要考查恒成立的問題、柯西不等式，屬于基礎(chǔ)題型．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

本題有（1）、（2）、（3）三個選答題，請考生任選2題作答．
（1）選修4-2：矩陣與變換
已知a，b∈R，若M=
-1a
b3
所對應(yīng)的變換TM把直線L：2x-y=3變換為自身，求實數(shù)a，b，并求M的逆矩陣．
（2）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知直線l的參數(shù)方程：
x=t
y=1+2t
（t為參數(shù)）和圓C的極坐標(biāo)方程：ρ=2
2
sin(θ+
π
4
)．
①將直線l的參數(shù)方程化為普通方程，圓C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
②判斷直線l和圓C的位置關(guān)系．
（3）選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-2|．若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f（x）（a≠0，a，b∈R）恒成立，求實數(shù)x的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

本題有（1）、（2）、（3）三個選擇題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題記分．
（1）．選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣A=
1a
-1b
，A的一個特征值λ=2，其對應(yīng)的特征向量是α1=
2
1
．
（Ⅰ）求矩陣A；
（Ⅱ）若向量β=
7
4
，計算A2β的值．

（2）．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知橢圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2=
12
3cos2θ+4sin2θ
，點F1，F(xiàn)2為其左、右焦點，直線l的參數(shù)方程為
x=2+
2
2
t
y=
2
2
t
（t為參數(shù)，t∈R）．求點F1，F(xiàn)2到直線l的距離之和．
（3）．選修4-5：不等式選講
已知x，y，z均為正數(shù)．求證：
x
yz
+
y
zx
+
z
xy
≥
1
x
+
1
y
+
1
z
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

本題有（1）、（2）、（3）三個選答題，每小題7分，請考生任選2題作答，滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題計分．
（1）選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣A=
12
34
．
①求矩陣A的逆矩陣B；
②若直線l經(jīng)過矩陣B變換后的方程為y=x，求直線l的方程．
（2）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知極坐標(biāo)系的極點與直角坐標(biāo)系的原點重合，極軸與直角坐標(biāo)系中x軸的正半軸重合．圓C的參數(shù)方程為
x=1+2cosα
y=-1+2sinα
（a為參數(shù)），點Q極坐標(biāo)為（2，
7
4
π）．
（Ⅰ）化圓C的參數(shù)方程為極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若點P是圓C上的任意一點，求P、Q兩點距離的最小值．
（3）選修4-5：不等式選講
（I）關(guān)于x的不等式|x-3|+|x-4|＜a的解不是空集，求a的取值范圍．
（II）設(shè)x，y，z∈R，且
x2
16
+
y2
5
+
z2
4
=1，求x+y+z的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

本題有（1）、（2）、（3）三個選答題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題記分．
（Ⅰ）選修4-2：矩陣與變換，
已知矩陣A=
01
a0
，矩陣B=
02
b0
，直線l1：x-y+4=0經(jīng)矩陣A所對應(yīng)的變換得直線l2，直線l2又經(jīng)矩陣B所對應(yīng)的變換得到直線l3：x+y+4=0，求直線l2的方程．
（Ⅱ）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程，
求直線
x=-2+2t
y=-2t
被曲線
x=1+4cosθ
y=-1+4sinθ
截得的弦長．
（Ⅲ）選修4-5：不等式選講，解不等式|x+1|+|2x-4|＞6．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

本題有（1）、（2）、（3）三個選答題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分
（1）已知矩陣M=
12
21
，β=
1
7
，（Ⅰ）求M-1；（Ⅱ）求矩陣M的特征值和對應(yīng)的特征向量；（Ⅲ）計算M100β．
（2）曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=1+cosθ，點A的極坐標(biāo)是（2，0），求曲線C在它所在的平面內(nèi)繞點A旋轉(zhuǎn)一周而形成的圖形的周長．
（3）已知a＞0，求證：
a2+
1
a2
-
2
≥a+
1
a
-2．

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