本題有（1）、（2）、（3）三個(gè)選答題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分
（1）已知矩陣M=
12
21
，β=
1
7
，（Ⅰ）求M-1；（Ⅱ）求矩陣M的特征值和對應(yīng)的特征向量；（Ⅲ）計(jì)算M100β．
（2）曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=1+cosθ，點(diǎn)A的極坐標(biāo)是（2，0），求曲線C在它所在的平面內(nèi)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周而形成的圖形的周長．
（3）已知a＞0，求證：
a2+
1
a2
-
2
≥a+
1
a
-2．
分析：（1）（Ⅰ）根據(jù)逆矩陣公式可求M-1，
（Ⅱ）先求特征值，M的特征值滿足：
.
λ-1-2
-2λ-1
.
=(λ-1)(λ-1)-4=0，λ1=3，λ2=-1，進(jìn)而可求對應(yīng)的特征向量；（Ⅲ）先將β用特征向量進(jìn)行表示，即β=4α1+-3α2，再求M100β；
（2）設(shè)P（ρ，θ）是曲線C上的任意一點(diǎn)，則|OP|=ρ=1+cosθ，點(diǎn)A在曲線C上，曲線C在它所在的平面內(nèi)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周而形成的圖形是以點(diǎn)A為圓心、|AP|為半徑的圓，故可求其周長．
（3）利用分析法證明．原不等式等價(jià)于：
a2+
1
a2
+2≥a+
1
a
+
2
，兩邊平方
a2+
1
a2
+2
a2+
1
a2
+4≥(a+
1
a
)2+2
2
(a+
1
a
)+2，從而可將問題轉(zhuǎn)化為證明a2+
1
a2
≥2即可．
解答：（1）解：（Ⅰ）∵M=
12
21

∴1×1-2×2=-3
∴M-1=
-
1
3
2
3
2
3
-
1
3
．
（Ⅱ）M的特征值滿足：
.
λ-1-2
-2λ-1
.
=(λ-1)(λ-1)-4=0
∴λ1=3，λ2=-1
λ1=3時(shí)，由方程組
2x-2y=0
-2x+2y=0
，對應(yīng)的特征向量為：α1=
1
1

λ2=-1時(shí)，由方程組
-2x-2y=0
-2x-2y=0
，對應(yīng)的特征向量為α2=
1
-1
，
（Ⅲ）令β=mα1+nα2，將具體數(shù)據(jù)代入得：m=4，n=-3，
M100β=M100(4α1-3α2)
=4(M100α1)-3(M100α2)
=4•3100
1
1
-3•(-1)100
1
-1
=
4•3100-3
4•3100+3

（2）解：設(shè)P（ρ，θ）是曲線C上的任意一點(diǎn)，則|OP|=ρ=1+cosθ，
由余弦定理，得|AP|2=|OP|2+|OA|2-2|OP|•|OA|cosθ
=（1+cosθ）2+22-4(1+cosθ)cosθ=
16
3
-3(cosθ+
1
3
)2，
當(dāng)cosθ=-
1
3
時(shí)，|AP|有最大值為
16
3
，
將點(diǎn)A（2，0）代入曲線C的極坐標(biāo)方程，是滿足的，知點(diǎn)A在曲線C上，
所以曲線C在它所在的平面內(nèi)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周而形成的圖形是以點(diǎn)A為圓心、
|AP|=
16
3
為半徑的圓，其周長為2π
16
3
．
（3）證明：原不等式等價(jià)于：
a2+
1
a2
+2≥a+
1
a
+
2

等價(jià)于：a2+
1
a2
+2
a2+
1
a2
+4≥(a+
1
a
)2+2
2
(a+
1
a
)+2
即：
a2+
1
a2
≥
2
(a+
1
a
)
上式等價(jià)于：a2+
1
a2
≥2(a2+
1
a2
+2)
即：a2+
1
a2
≥2
由基本不等式：a2+
1
a2
≥2，上式顯然成立，
∴原不等式成立．
點(diǎn)評：本題是選做題，涉及矩陣，極坐標(biāo)方程，不等式的證明，綜合性強(qiáng)，掌握的知識(shí)點(diǎn)多，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

本題有（1）、（2）、（3）三個(gè)選答題，請考生任選2題作答．
（1）選修4-2：矩陣與變換
已知a，b∈R，若M=
-1a
b3
所對應(yīng)的變換TM把直線L：2x-y=3變換為自身，求實(shí)數(shù)a，b，并求M的逆矩陣．
（2）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知直線l的參數(shù)方程：
x=t
y=1+2t
（t為參數(shù)）和圓C的極坐標(biāo)方程：ρ=2
2
sin(θ+
π
4
)．
①將直線l的參數(shù)方程化為普通方程，圓C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
②判斷直線l和圓C的位置關(guān)系．
（3）選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-2|．若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f（x）（a≠0，a，b∈R）恒成立，求實(shí)數(shù)x的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

本題有（1）、（2）、（3）三個(gè)選擇題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題記分．
（1）．選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣A=
1a
-1b
，A的一個(gè)特征值λ=2，其對應(yīng)的特征向量是α1=
2
1
．
（Ⅰ）求矩陣A；
（Ⅱ）若向量β=
7
4
，計(jì)算A2β的值．

（2）．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知橢圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2=
12
3cos2θ+4sin2θ
，點(diǎn)F1，F(xiàn)2為其左、右焦點(diǎn)，直線l的參數(shù)方程為
x=2+
2
2
t
y=
2
2
t
（t為參數(shù)，t∈R）．求點(diǎn)F1，F(xiàn)2到直線l的距離之和．
（3）．選修4-5：不等式選講
已知x，y，z均為正數(shù)．求證：
x
yz
+
y
zx
+
z
xy
≥
1
x
+
1
y
+
1
z
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

本題有（1）、（2）、（3）三個(gè)選答題，每小題7分，請考生任選2題作答，滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題計(jì)分．
（1）選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣A=
12
34
．
①求矩陣A的逆矩陣B；
②若直線l經(jīng)過矩陣B變換后的方程為y=x，求直線l的方程．
（2）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與直角坐標(biāo)系中x軸的正半軸重合．圓C的參數(shù)方程為
x=1+2cosα
y=-1+2sinα
（a為參數(shù)），點(diǎn)Q極坐標(biāo)為（2，
7
4
π）．
（Ⅰ）化圓C的參數(shù)方程為極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)P是圓C上的任意一點(diǎn)，求P、Q兩點(diǎn)距離的最小值．
（3）選修4-5：不等式選講
（I）關(guān)于x的不等式|x-3|+|x-4|＜a的解不是空集，求a的取值范圍．
（II）設(shè)x，y，z∈R，且
x2
16
+
y2
5
+
z2
4
=1，求x+y+z的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

本題有（1）、（2）、（3）三個(gè)選答題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題記分．
（Ⅰ）選修4-2：矩陣與變換，
已知矩陣A=
01
a0
，矩陣B=
02
b0
，直線l1：x-y+4=0經(jīng)矩陣A所對應(yīng)的變換得直線l2，直線l2又經(jīng)矩陣B所對應(yīng)的變換得到直線l3：x+y+4=0，求直線l2的方程．
（Ⅱ）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程，
求直線
x=-2+2t
y=-2t
被曲線
x=1+4cosθ
y=-1+4sinθ
截得的弦長．
（Ⅲ）選修4-5：不等式選講，解不等式|x+1|+|2x-4|＞6．

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