Question

設(shè)函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，又已知f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，不等式f（ax+1）≤f（x）對(duì)x∈[

1

2

，1]恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：計(jì)算題,分類討論,推理和證明

分析：由題意，將ax+1與x化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間，討論a．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
又∵f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
則①a≥0時(shí)，ax+1≥1，則f（ax+1）≤f（x）對(duì)x∈[

1

2

，1]恒成立不能成立；
②a＜0時(shí)，a+1≤ax+1≤

1

2

a+1，
（Ⅰ）0≤a+1≤1，即-1≤a≤0時(shí)，
若使ax+1≤x恒成立，則

1

2

a+1≤

1

2

，
則a≤-1，則a=-1．
（Ⅱ）若-1≤a+1＜0，即-2≤a＜-1時(shí)，
此時(shí)

1

2

a+1＜

1

2

，
則若使不等式f（ax+1）≤f（x）對(duì)x∈[

1

2

，1]恒成立，
則-ax-1≤x對(duì)x∈[

1

2

，1]恒成立，
即（-a-1）x≤1對(duì)x∈[

1

2

，1]恒成立，
則-a-1≤1，
則a≥-2．
綜上所述，-2≤a≤-1．

點(diǎn)評(píng)：本題應(yīng)用到了轉(zhuǎn)化的思想及分類討論的思想，屬于中檔題．