Question

設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的焦點(diǎn)，若在雙曲線上存在點(diǎn)P滿足∠F₁PF₂=60°，|OP|=

7

a，則雙曲線的漸近線方程為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：假設(shè)|F₁P|=x，進(jìn)而分別根據(jù)中線定理和余弦定理建立等式求得c²+5a²=14a²-2c²，求得a和c的關(guān)系，進(jìn)而求得a和b的關(guān)系，即可求得漸近線的方程．

解答： 解：假設(shè)|F₁P|=x
∵OP為三角形F₁F₂P的中線，
∴根據(jù)三角形中線定理可知x²+（2a+x）²=2（c²+7a²），
整理得x（x+2a）=c²+5a²，
由余弦定理可知x²+（2a+x）²-x（2a+x）=4c²，
整理得x（x+2a）=14a²-2c²，
進(jìn)而可知c²+5a²=14a²-2c²，
求得3a²=c²
∴c=

3

a，
∴b=

2

a，
∴漸近線為y=±

2

x，
故答案為：y=±

2

x．

點(diǎn)評(píng)：本題將解析幾何與三角知識(shí)相結(jié)合，主要考查了雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，幾何圖形、幾何性質(zhì)、漸近線方程，以及斜三角形的解法，屬中檔題．