Question

【題目】如圖，三棱錐P﹣ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=2，E為PC的中點，點F在PA上，且2PF=FA．
（1）求證：BE⊥平面PAC；
（2）求直線AB與平面BEF所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵PB⊥底面ABC，且AC底面ABC，∴AC⊥PB，

由∠BCA=90°，得AC⊥CB，

又∵PB∩CB=B，∴AC⊥平面PBC，

∵BE平面PBC，∴AC⊥BE，

∵PB=BC，E為PC中點，∴BE⊥PC，

∵PC∩AC=C，BE⊥平面PAC．

（2）解：如圖，以B為原點、BC所在直線為x軸、BP為z軸建立空間直角坐標系．

則C（2，0，0），A（2，2，0），P（0，0，2），E（1，0，1），

=（ ）．

設平面BEF的法向量 =（x，y，z）．

由 ，取x=1，則得 =（1，1，﹣1）．

，

，

∴ ，

∴直線AB與平面BEF所成角的正弦值 ．

【解析】（1）推導出AC⊥PB，AC⊥CB，從而AC⊥BE，又BE⊥PC，由此能證明BE⊥平面PAC．（2）以B為原點、BC所在直線為x軸、BP為z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能證明直線AB與平面BEF所成角的正弦值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關知識，掌握一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數(shù)學思想，以及對空間角的異面直線所成的角的理解，了解已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．