Question

如圖，在矩形ABCD中，已知AB=3，AD=1，E、F分別是AB的兩個三等分點，AC，DF相交于點G，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系：

（1）若動點M到D點距離等于它到C點距離的兩倍，求動點M的軌跡圍成區(qū)域的面積；

（2）證明：E G⊥D F．

Answer 1

考點：

軌跡方程；兩條直線垂直的判定．

專題：

直線與圓．

分析：

（1）以A為原點，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求出動點M的軌跡方程，即可求出圍成區(qū)域的面積；

（2）求出直線AC，DF的方程，可得G的坐標(biāo)，計算k_EG•k_DF=﹣1，即可得到結(jié)論．

解答：

（1）解：以A為原點，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A（0，0），B（3，0），C（3，1），D（0，1），E（1，0），F(xiàn)（2，0）．…（1分）

設(shè)M（x，y），由題意知|MD|=2|MC|…（2分）

∴…（3分）

兩邊平方化簡得：即（x﹣4）²+（y﹣1）²=4…（5分）

即動點M的軌跡為圓心（4，1），半徑為2的圓，

∴動點M的軌跡圍成區(qū)域的面積為4π…（6分）

（2）證明：由A（0，0）．C（3，1）知直線AC的方程為：x﹣3y=0，…（7分）

由D（0，1）．F（2，0）知直線DF的方程為：x+2y﹣2=0，…（8分）

由得，故點G點的坐標(biāo)為．…（10分）

又點E的坐標(biāo)為（1，0），故k_EG=2，k_DF=﹣   …（12分）

所以k_EG•k_DF=﹣1，即證得：EG⊥DF    …（13分）

點評：

本題考查軌跡方程，考查直線方程的求解，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．