Question

已知函數(shù)f（x）=

2x

1-x

，判斷函數(shù)y=f（ax）（a＜0）的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性定義加以證明．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)單調(diào)性的定義，進(jìn)行作差變形整理，即可得到答案．

解答： 解：∵f（x）=

2x

1-x

，
∴f（ax）=

2ax

1-x

，
設(shè)x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

2ax1

1-x1

-

2ax2

1-x2

=

2a(x1-x2)

(1-x1)(1-x2)

∵x₁-x₂＜0，a＜0，
∴2a（x₁-x₂）＞0，
當(dāng)x₁＜x₂∈（-∞，1）時，（1-x₁）（1-x₂）＞0，
當(dāng)x₁＜x₂∈（1，+∞）時，（1-x₁）（1-x₂）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），函數(shù)f（x）在（-∞，1）與（1，+∞）上是減函數(shù)；

點評：本題給出分式函數(shù)，討論了函數(shù)的單調(diào)性并求函數(shù)在閉區(qū)間上的值域，著重考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明和函數(shù)的值域等知識，屬于基礎(chǔ)題．