Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且對(duì)?n∈N₊，都滿足3S_n+a_n=1．?dāng)?shù)列{b_n}滿足bn+2=3log

1

4

an(n∈N+)．
（I）求數(shù)列{b_n}通項(xiàng)公式；
（II）若Cn=(-1)nan•bn，求數(shù)列C_n的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析：（I）由已知可得3S₁+a₁=1，從而可求a₁，當(dāng)n≥2時(shí)，3S_n-1+a_n-1=1，與已知式子相減可得4a_n-a_n-1=0，可證數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，可求a_n，代入bn+2=3log

1

4

an(n∈N+)．可求b_n
（II）由（I）可得Cn=(-1)nan•bn=(-

1

4

)n(3n-2)，結(jié)合數(shù)列的特點(diǎn)，考慮利用錯(cuò)位相減求解數(shù)列的和

解答：解：（I）∵3S_n+a_n=1①
∴3S₁+a₁=1．
∴a1=

1

4

當(dāng)n≥2時(shí)，3S_n-1+a_n-1=1②
①②兩式相減可得，4a_n-a_n-1=0即

an

an-1

=

1

4

∴數(shù)列{a_n}是以

1

4

，為首項(xiàng)，以

1

4

為公比的等比數(shù)列
∴an=(

1

4

)n
∵bn+2=3log

1

4

an(n∈N+)．
∴bn+2=3log

1

4

(

1

4

)n=3n
∴b_n=3n-2
（II）由（I）可得Cn=(-1)nan•bn=(-

1

4

)n(3n-2)
∴Tn=1•(-

1

4

)+4(-

1

4

)2+…+（3n-2）•(-

1

4

)n
∴-

Tn

4

=1•(-

1

4

)2+4•(-

1

4

)3+…+（3n-5）•(-

1

4

)n+(3n-2)•(-

1

4

)n+1
兩式相減可得

5Tn

4

=-

1

4

+3[(-

1

4

)2+(-

1

4

)3+…+(-

1

4

)n]-(3n-2)(-

1

4

)n+1
=-

1

4

+3•

(- 1 4 )2[1-(- 1 4 )n-1]

1+ 1 4

-（3n-2）•(-

1

4

)n+1
=-

1

4

+

3

20

-

3

20

(-

1

4

)n-1-(3n-2)•(-

1

4

)n+1
=-

1

10

-

12

5

(-

1

4

)n+1-(3n-2)(-

1

4

)n+1
=-

1

10

-(3n+

2

5

)(-

1

4

)n+1
∴Tn=-

2

25

-

60n+8

25

(-

1

4

)n+1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的遞推公式在數(shù)列的通項(xiàng)公式求解中的應(yīng)用，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，及數(shù)列求和的錯(cuò)位相減求和方法的應(yīng)用，屬于數(shù)列知識(shí)的綜合性的應(yīng)用．