Question

已知函數(shù)，且f（x）在x=1處取得極值．
（1）求b的值；
（2）若當x∈[-1，]時，恒成立，求c的取值范圍；
（3）對任意的x₁，x₂∈[-1，]，是否恒成立？如果成立，給出證明，如果不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）（1）先對函數(shù)進行求導，然后根據(jù)f'（1）=0求出b的值；
（2）先求函數(shù)在區(qū)間上的最小值，再轉化為解不等式即可；
（3）將問題等價轉化為|f（x₁）-f（x₂）|≤|f_max（x）-f_min（x）|，再在（2）的基礎上求出區(qū)間上的最小值即可證得
解答：解：（1）因為，
所以f′（x）=x²-3x+b．…（2分）
因為f（x）在x=1處取得極值，所以f′（1）=1-3+b=0．解得b=2．…（4分）
（2）因為．所以f′（x）=x²-3x+2=（x-1）（x-2），
當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	-1	（-1，1）	1	（1，2）	2
f′（x）		+		-		+
f（x）		單調(diào)遞增		單調(diào)遞減		單調(diào)遞增

因此當x=1時，f（x）有極大值．…（6分）
又，＜，
∴x∈[-1，]時，f（x）最大值為．…（7分）
∴．∴c＜-1或c＞2．…（8分）
（3）對任意的x₁，x₂∈[-1，]，恒成立．
由（2）可知，當x=2時，f（x）有極小值．
又，．
∴x∈[-1，]時，f（x）的最小值為-+c．…（10分）
∴，故結論成立．…（12分）
點評：本題主要考查函數(shù)的極值與其導函數(shù)之間的關系以及函數(shù)在閉區(qū)間上最值的求法．導數(shù)時高考的熱點問題，每年必考要給予充分的重視．