Question

已知函數(shù)f（x）=

3

2

sin2x-cos²x-

1

2

，x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點：正弦函數(shù)的單調(diào)性,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）由和差角的公式化簡可得f（x）=sin（2x-

π

6

），易得最小正周期和最大值；（Ⅱ）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

解不等式可得單調(diào)遞增區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）化簡可得f（x）=

3

2

sin2x-cos²x-

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

（2cos²x-1）=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin（2x-

π

6

），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為π，最大值為1；
（Ⅱ）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

可得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）

點評：本題考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，涉及三角函數(shù)公式和最值，屬基礎(chǔ)題．