如圖,已知四棱錐S-ABCD的底面是邊長為4的正方形,S在底面上的射影O落在正方形ABCD內(nèi),且O到AB、AD的距離分別為2和1. P是SC上的點,
(1)求證:OP∥平面SAD;
(2)求證:是定值.

【答案】分析:(1)已知四棱錐S-ABCD的底面是邊長為4的正方形,在SD上取一點Q,使,只要證明四邊形PQMO是平行四邊形,再利用直線與平面平行的判定定理進行證明,即可解決問題;
(2)設點O向BC所引的垂線段為ON,利用向量的乘法進行證明.
解答:解:(1)證明:在SD上取一點Q,使,
設點O向AD所引的垂線段為OM.則OM=1.連接PQ,QM.
=
∴PQ∥CD.∵OM∥CD,∴PQ∥OM.∵
∴PQ=1.∴四邊形PQMO是平行四邊形.
∴OP∥QM,∵QM?平面SAD,PO?平面SAD,
∴OP∥平面SAD.
(2)設點O向BC所引的垂線段為ON.
則ON=3,
=
=
是定值.
點評:此題考查直線與平面平行的判斷及向量的應用,第一問此類問題一般先證明兩個面平行,再證直線和面平行,這種做題思想要記住,此類立體幾何題是每年高考必考的一道大題,要注意這方面的題.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知四棱錐S-ABCD的底面ABCD是邊長為1的正方形,SA⊥平面ABCD,SA=2,E是側(cè)棱SC上的一點.
(1)求證:平面EBD⊥平面SAC;
(2)求四棱錐S-ABCD的體積.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知四棱錐S-ABCD的底面是邊長為4的正方形,S在底面上的射影O落在正方形ABCD內(nèi),SO的長為3,O到AB,AD的距離分別為2和1,P是SC的中點.
(Ⅰ)求證:平面SOB⊥底面ABCD;
(Ⅱ)設Q是棱SA上的一點,若
AQ
=
3
4
AS
,求平面BPQ與底面ABCD所成的銳二面角余弦值的大�。�

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知四棱錐S-A BCD是由直角梯形沿著CD折疊而成,其中SD=DA=AB=BC=l,AS∥BC,AB⊥AD,且二面角S-CD-A的大小為120°.
(Ⅰ)求證:平面ASD⊥平面ABCD;
(Ⅱ)設側(cè)棱SC和底面ABCD所成角為θ,求θ的正弦值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2008•湖北模擬)如圖,已知四棱錐S-ABCD中,△SAD是邊長為a的正三角形,平面SAD⊥平面ABCD,四邊形ABCD為菱形,∠DAB=60°,P為AD的中點,Q為SB的中點.
(Ⅰ)求證:PQ∥平面SCD;
(Ⅱ)求二面角B-PC-Q的大�。�

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2010•江西模擬)(如圖)已知四棱錐S-ABCD的底面ABCD是菱形,將面SAB,SAD,ABCD 展開成平面后的圖形恰好為一正三角形S'SC.
(1)求證:在四棱錐S-ABCD中AB⊥SD.
(2)若AC長等于6,求異面直線AB與SC之間的距離.

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