Question

（2008•湖北模擬）如圖，已知四棱錐S-ABCD中，△SAD是邊長(zhǎng)為a的正三角形，平面SAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為菱形，∠DAB=60°，P為AD的中點(diǎn)，Q為SB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PQ∥平面SCD；
（Ⅱ）求二面角B-PC-Q的大小．

Answer 1

分析：（1）取SC的中點(diǎn)R，連QR，DR，PD∥BC且PD=

1

2

BC，QR∥BC且QP=

1

2

BC，由公理4得PQ∥DR，從而有PQ∥面SCD．
（2）以P為坐標(biāo)原點(diǎn)，PA為x軸，PB為y軸，PS為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，只要求得兩半平面的一個(gè)法向量即可，先求得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到相關(guān)向量的坐標(biāo)，然后用向量的夾角公式求解．

解答：證明：（1）證明取SC的中點(diǎn)R，連QR，DR．
由題意知：PD∥BC且PD=

1

2

BC；
QR∥BC且QP=

1

2

BC，∴QR∥PD且QR=PD．∴PQ∥DR，又PQ?面SCD，∴PQ∥面SCD．（6分）
（2）解：以P為坐標(biāo)原點(diǎn)，PA為x軸，PB為y軸，PS為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則S（0，0，

3

2

a），B（0，

3

2

a，0），C（-a，

3

2

a，0），Q（0，

3

4

a，

3

4

a）．
面PBC的法向量為

PS

=（0，0，

3

2

a），設(shè)

n

=(x，y，z)為面PQC的一個(gè)法向量，
由

n • PQ =0 n • PC =0

⇒

3 4 ay+ 3 4 az=0 -ax+ 3 4 ay=0

⇒

n

=(

3

2

，

3

，-

3

)，
cos＜

n

，

PS

＞=

- 3 2 a

3 2 a× 33 2

=-

2

11

=-

2

11

11

，
∴二面角B-PC-Q的大小為arccos

2 11

11

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線線，線面，面面平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化及平面圖形的應(yīng)用，還考查了向量法在求二面角中的應(yīng)用，屬中檔題．