Question

已知拋物線C的頂點在坐標原點，焦點在x軸上，△ABC的三個頂點都在拋物線上，且△ABC的重心為拋物線的焦點，若BC所在直線l的方程為4x＋y－20＝0.

(1)求拋物線C的方程；

(2)若O是坐標原點，P，Q是拋物線C上的兩動點，且滿足PO⊥OQ，證明：直線PQ過定點．

Answer 1

 (1)設拋物線C的方程為y²＝2mx，

由消去x得2y²＋my－20m＝0.

∵Δ>0，∴m>0或m<－160.

設B(x₁，y₁)，C(x₂，y₂)，則y₁＋y₂＝－，

∴x₁＋x₂＝(5－)＋(5－)＝10＋.

再設A(x₃，y₃)，由于△ABC的重心為F(，0)，

∵點A在拋物線上，∴()²＝2m(－10)．

∴m＝8，拋物線C的方程為y²＝16x.

(2)證明：當PQ的斜率存在時，設PQ的方程為y＝kx＋b，顯然k≠0，b≠0，∵PO⊥OQ，∴k_POk_OQ＝－1，

設P(x_P，y_P)，Q(x_Q，y_Q)，∴x_Px_Q＋y_Py_Q＝0.

將直線y＝kx＋b代入拋物線方程，得ky²－16y＋16b＝0，

∴y_Py_Q＝.從而x_Px_Q＝＝，

∴＋＝0.∵k≠0，b≠0，整理得b＝－16k.

∴直線PQ的方程為y＝kx－16k，PQ過點(16,0)；

當PQ的斜率不存在時，顯然PQ⊥x軸，

又PO⊥OQ，∴△POQ為等腰三角形．

由得P(16,16)，Q(16，－16)，

此時直線PQ過點(16,0)，∴直線PQ恒過定點(16,0)．