Question

拋物線y²=4x與直線y=x-1相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：求出拋物線的焦點(diǎn)，可得直線AB恰好經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F（1，0），再由拋物線的定義可得|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+p=x₁+x₂+2，最后由直線AB與拋物線消去y得關(guān)于x的方程，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得x₁+x₂=6，從而得到AB的長為8．

解答： 解：∵拋物線方程為y²=4x，
∴2p=4，

p

2

=1，可得焦點(diǎn)為F（1，0）
∵直線y=x-1交x軸于點(diǎn)（1，0）
∴直線AB經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據(jù)拋物線的定義可得|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1，
所以|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+2，
由拋物線y²=4x與直線y=x-1消去y，得x²-6x+1=0
∴根據(jù)韋達(dá)定理，得x₁+x₂=6
因此，|AB|=|x₁+x₂+2=8，
故答案為：8

點(diǎn)評：本題給出拋物線的一條焦點(diǎn)弦所在的直線方程方程，求該焦點(diǎn)弦的長度，著重考查了拋物線的簡單性質(zhì)和直線與拋物線的關(guān)系等知識點(diǎn)，屬于中檔題．