Question

在四邊形ABCD中，已知A（0，0），D（0，4），點(diǎn)B在x軸上，BC∥AD，且對角線AC⊥BD．
（Ⅰ）求點(diǎn)C的軌跡方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)P是直線y=2x-5上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作點(diǎn)C的軌跡的兩切線PE、PF，E、F為切點(diǎn)，M為EF的中點(diǎn)．求證：PM⊥x軸；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，直線EF是否恒過一定點(diǎn)？若是，請求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y），再由共線向量定理求解．（Ⅱ）對函數(shù)求導(dǎo)得．設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，得切線方程．又設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，2t-5），由切線過點(diǎn)P，得E，F(xiàn)所在的直線方程，由韋達(dá)定理求得M坐標(biāo)得證．（Ⅲ）先求得直線AB的方程為：，即t（x-4）+10-2y=0．（*）當(dāng)x=4，y=5時(shí)，方程（*）恒成立，
解答：解：（Ⅰ）如圖，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y）（x≠0，y≠0），
則，
∵，
∴x•（-x）+y•4=0，即．
∴所求的軌跡T是除去頂點(diǎn)的拋物線（3分）
（Ⅱ）對函數(shù)求導(dǎo)得，．
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則過該切點(diǎn)的切線的斜率是，
該切線方程是．
又設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，2t-5），
∵切線過點(diǎn)P，
∴有，
化簡，得x²-2tx+8t-20=0．（6分）
設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，
則x₁、x₂為方程x²-2tx+8t-20=0的兩根，x₁+x₂=2t，?x₁x₂=8t-20．
∴
因此，當(dāng)t=0時(shí)，直線PM與y軸重合，當(dāng)t≠0時(shí)，直線PM與y軸平行（9分）
（Ⅲ）∵=．
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為．
又∵．
∴直線AB的方程為：，即t（x-4）+10-2y=0．（*）
∵當(dāng)x=4，y=5時(shí)，方程（*）恒成立，
∴對任意實(shí)數(shù)t，直線AB恒過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為（4，5）．（14分）
點(diǎn)評：本題主要考查向量法求軌跡方程，導(dǎo)數(shù)法求切線方程以及直線過定點(diǎn)問題．