Question

如圖，A、B為半橢圓

y2

4

+x2=1(y≥0)的兩個(gè)頂點(diǎn)，F(xiàn)為上焦點(diǎn)，將半橢圓和線段AB合在一起稱為曲線C．
（1）求△ABF的外接圓圓心；
（2）過(guò)焦點(diǎn)F的直線L與曲線C交于P、Q兩點(diǎn)，若|PQ|=2，求所有滿足條件的直線L；
（3）對(duì)于一般的封閉曲線，曲線上任意兩點(diǎn)距離的最大值稱為該曲線的“直徑”．如圓的“直徑”就是通常的直徑，橢圓的“直徑”就是長(zhǎng)軸的長(zhǎng)．求該曲線C的“直徑”．

Answer 1

分析：（1）先判斷△ABF的形狀，為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，再利用等邊三角形的性質(zhì)求圓心坐標(biāo)即可．
（2）先討論P(yáng)，Q點(diǎn)的位置，只能兩點(diǎn)都在橢圓上，設(shè)出PQ方程，與橢圓方程聯(lián)立，解x₁+x₂，x₁x₂，用弦長(zhǎng)公式求出
|PQ|的長(zhǎng)，用含k的式子表示，根據(jù)|PQ|=2，就可求出k值．
（3）先設(shè)曲線C上兩動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，代入兩點(diǎn)間距離公式，再根據(jù)利用放縮法，以及橢圓上點(diǎn)的范圍即可求出兩點(diǎn)連線的范圍，求出“直徑”長(zhǎng)．

解答：解：（1）A（-1，0），B（1，0），F(xiàn)（0，

3

），故△ABF是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，外接圓半徑R=

2 3

3

，故圓心為（0，

3

3

）    
（2）記橢圓的上頂點(diǎn)為D（0，2），若直線L與曲線C的兩交點(diǎn)一個(gè)在橢圓上，一個(gè)在線段AB上，
如圖．因?yàn)镕Q≥FD，F(xiàn)P≥FO，即此時(shí)|PQ|≥|OD|=2，
故只有直線x=0符合題意；
設(shè)點(diǎn)P、Q都在橢圓上，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
直線L：y=kx+

3

，則

y2 4 +x2=1 y=kx+3

⇒（k²+4）x²+2

3

kx-1=0

x1+x2=- 2 3 k k2+4 x1x2=- 1 k2+4

⇒（x₁-x₂）²=

16(k2+1)

(k2+4)2

所以|PQ|=

k2+1

| x1-x2|=

4(k2+1)

(k2+4)2

=2，得k=±

2

經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意的直線L有三條，分別為x=0，y=

2

x+

3

，y=-

2

x+

3

（3）設(shè)曲線C上兩動(dòng)點(diǎn)G（x，y），H（x₀，y₀），
顯然G、H至少有一點(diǎn)在橢圓上時(shí)GH才能取得最大，不妨設(shè)y≥y₀≥0，則
|GH|²=（x-x₀）²+（y-y₀）²≤（x-x₀）²+y²=（x-x₀）²+4（1-x²）
=-3x²-2x₀x+x₀²+4=-3(x+

x0

3

)2+

4x02

3

+4≤

4x02

3

+4≤

4

3

+4=

16

3

等號(hào)成立時(shí)G（

4 2

3

，

1

3

），H（-1，0）或G（-

4 2

3

，

1

3

），H（1，0），故曲線C的直徑為

4 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線相交時(shí)弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，韋達(dá)定理的應(yīng)用，兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用．