Question

已知函數(shù)f（x）=

1-x

ax

+lnx+1．
（1）若函數(shù)f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若a=1，k∈R且k＜

1

e

，設(shè)F（x）=f（x）+（k-1）lnx-1，求函數(shù)F（x）在[

1

e

，e]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由函數(shù)f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，得到f′（x）≤0對(duì)于x∈[1，2]恒成立．再利用分離常數(shù)的方法，進(jìn)一步求解．
（2）先對(duì)F（x）進(jìn)行求導(dǎo)，然后對(duì)其中的參數(shù)進(jìn)行討論，分為k=0；k＞0；k＜0三種情況分別進(jìn)行研究．

解答： （1）由題設(shè)可得f（x）定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=

ax-1

ax2

．
顯然a≠0，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，不等式f′(x)=

ax-1

ax2

≤0恒成立，即

1

a

≥x恒成立．
∴

1

a

≥2，∴0＜a≤

1

2

，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，

1

2

]．
（2）a=1，k∈R，f（x）=

1-x

x

+lnx+1，
F（x）=f（x）+（k-1）lnx-1=

1-x

x

+klnx，
F′（x）=

-x-(1-x)

x2

+

k

x

=

kx-1

x2

．
①若k=0，則F′（X）=-

1

X2

，在[

1

e

，e]上，恒有F′（x）＜0，
∴F（x）在[

1

e

，e]上單調(diào)遞減．
∴F（x）_min=F（e）=

1-e

e

，F(xiàn)（x）_max=F（

1

e

）=e-1．
②k≠0時(shí)，F(xiàn)′（x）=

kx-1

x2

=

k(x- 1 k )

x2

．
（i）若k＜0，在[

1

e

，e]上，恒有

k(x- 1 k )

x2

＜0，
∴F（x）在[

1

e

，e]上單調(diào)遞減，
∴F（x）_min=F（e）=

1-e

e

+klne=

1

e

+k-1，F(xiàn)（x）_max=F（

1

e

）=e-k-1．
（ii）若k＞0時(shí)，k＜

1

e

，∴

1

k

＞e，x-

1

k

＜0，∴

k(x- 1 k )

x2

＜0，
∴F（x）在[

1

e

，e]上單調(diào)遞減，
∴F（x）_min=F（e）=

1-e

e

+klne=

1

e

+k-1，F(xiàn)（x）_max=F（

1

e

）=e-k-1．
綜上，當(dāng)k=0時(shí)，F(xiàn)（x）_min=F（e）=

1-e

e

，F(xiàn)（x）_max=F（

1

e

）=e-1，
當(dāng)k≠0，且k＜

1

e

時(shí)，F(xiàn)（x）_min=F（e）=

1

e

+k-1，F(xiàn)（x）_max=F（

1

e

）=e-k-1．

點(diǎn)評(píng)：本題是導(dǎo)數(shù)部分常見(jiàn)的題型，在已知函數(shù)單調(diào)性的前提下，需要將其轉(zhuǎn)化成導(dǎo)函數(shù)大于等于0或者是小于等于0去計(jì)算，在結(jié)論的最后，還要驗(yàn)證一下取等號(hào)時(shí)，題意是否依然成立．另一方面，分類討論的思想是我們經(jīng)常遇到的，在分類談?wù)摃r(shí)，要做到“不重不漏”，細(xì)心謹(jǐn)慎，才能夠準(zhǔn)確的把握題意．