Question

已知點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且直線BM的斜率與直線AM的斜率的差為1．
（1）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）若過點(diǎn)F（0，0）作直線交軌跡C于P，Q兩點(diǎn)，證明以PQ為直徑的圓與直線l：y=-1相切．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)M（x，y），利用直線BM的斜率與直線AM的斜率的差為1，建立方程，即可求得點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）F（0，0）是拋物線的焦點(diǎn)，直線l：y=-1是拋物線的準(zhǔn)線，取PQ的中點(diǎn)N，過P，Q，N分別作直線l的垂線，垂足分別為P₁，Q₁，N₁，證明即可．
解答：（1）解：設(shè)M（x，y），則（2分）
∵直線BM的斜率與直線AM的斜率的差為1
∴（3分）
∴（5分）
（2）證明：∵P=1，∴F（0，0）是拋物線的焦點(diǎn)，直線l：y=-1是拋物線的準(zhǔn)線，（6分）
取PQ的中點(diǎn)N，過P，Q，N分別作直線l的垂線，垂足分別為P₁，Q₁，N₁（7分）
則|PF|=|PP₁|，|QF|=|QQ₁|（9分）
∴|PQ|=|PP₁|+|QQ₁|（10分）
∵N為PQ的中點(diǎn)，且NN₁∥PP₁∥QQ₁，（11分）
所以以PQ為直徑的圓與直線l：y=-1相切．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求法，考查拋物線的定義，考查直線與圓的位置關(guān)系，正確運(yùn)用拋物線的定義是關(guān)鍵．