Question

函數ax²+ax+1＞0在x∈[1，2]恒成立，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：討論a和0的關系，即：a=0，a＞0，a＜0：a=0時，顯然符合已知條件；a＞0時，二次函數圖象ax²+ax+1開口向上，可通過判斷該函數在[1，2]上的單調性求出該函數在該區(qū)間上的最小值，讓最小值大于0，便可求得a的取值范圍；對于a＜0時，求a的取值范圍的過程同a＞0時的一樣，這三種情況求得的a的取值范圍求并集即可得到a的取值范圍．

解答： 解：①a=0時，1＞0，滿足在x∈[1，2]上恒成立；
②a＞0時，函數ax²+ax+1的對稱軸是x=-

1

2

；
∴該函數在[1，2]上單調遞增；
∴x=1時，該函數取最小值2a+1，則：2a+1＞0，a＞-

1

2

；
∴a＞0；
③a＜0時，函數ax²+ax+1在[1，2]上單調遞減；
∴x=2時，該函數取最小值6a+1，則：6a+1＞0，a＞-

1

6

；
∴-

1

6

＜a＜0；
綜上得a的取值范圍為(-

1

6

，+∞)．
故答案為：(-

1

6

，+∞)．

點評：考查二次函數的對稱軸及二次函數的單調性，以及根據函數的單調性求函數的最小值．