Question

已知函數(shù)f（x）=log₂

1

2

×log₂x²，其中x∈[

1

2

，8]．
（1）求f（x）的最大值和最小值；
（2）若實數(shù)a滿足f（x）-a≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)圖象與性質的綜合應用

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）利用對數(shù)的運算性質，可將函數(shù)解析式化為函數(shù)f（x）=-2log₂x，由函數(shù)為減函數(shù)，結合x∈[

1

2

，8]，可得f（x）的最大值和最小值；
（2）若實數(shù)a滿足f（x）-a≥0恒成立，即a≤f（x）恒成立，則a≤f（x）_min，結合（1）中結論，可得a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=log₂

1

2

×log₂x²=-2log₂x為減函數(shù)，
又∵x∈[

1

2

，8]．
∴當x=

1

2

時，f（x）取最大值2，
當x=8時，f（x）取最小值-6，
（2）若實數(shù)a滿足f（x）-a≥0恒成立，
即a≤f（x）恒成立，
則a≤f（x）_min，
由（1）得a≤-6，
故a的取值范圍為：（-∞，-6]．

點評：本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)的圖象和性質，恒成立問題，其中熟練掌握對數(shù)函數(shù)的圖象和性質，是解答的關鍵．