【題目】如圖所示的幾何體中,正方形所在平面垂直于平面,四邊形為平行四邊形,G為上一點(diǎn),且平面,.
(1)求證:平面平面;
(2)當(dāng)三棱錐體積最大時(shí),求平面與平面所成二面角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】
(1)利用面面垂直的性質(zhì)定理可以得到線面垂直,然后得到線線垂直,再由已知的線面垂直得到線線垂直,利用線面垂直的判斷定理得到線面垂直,最后利用面面垂直的判定定理證明出面面垂直;
(2)通過三棱錐的體積公式,由等積法可以得到:求三棱錐體積的最大值,只需求的最大值.設(shè)出兩個(gè)線段的長(zhǎng),建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量的數(shù)量積公式可以求出平面與平面所成二面角的余弦值,最后利用同角的三角函數(shù)關(guān)系式中的平方和關(guān)系求出平面與平面所成二面角的正弦值.
(1)證明:因?yàn)槠矫?/span>平面,平面平面,
四邊形正方形,即,平面,
所以平面,
又因?yàn)?/span>平面,所以,
因?yàn)?/span>平面,平面,
所以,
因?yàn)?/span>,平面,
所以平面,
因?yàn)?/span>平面,
所以平面平面.
(2)解:,
求三棱錐體積的最大值,只需求的最大值.
令,,
由(1)知,,
所以,當(dāng)且僅當(dāng),
即時(shí),,
以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖,則
,,,
設(shè)為平面的一個(gè)法向量,
則,
可取,則,
因?yàn)樗倪呅?/span>為平行四邊形,為等腰直角三角形,
所以四邊形為正方形,取平面的一個(gè)法向量為,
所以,所以,
即平面與平面所成二面角的正弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“公平正義”是社會(huì)主義和諧社會(huì)的重要特征,是社會(huì)主義法治理念的價(jià)值追求.“考試”作為一種公平公正選拔人才的有效途徑,正被廣泛采用.每次考試過后,考生最關(guān)心的問題是:自己的考試名次是多少?自已能否被錄取?能獲得什么樣的職位?
某單位準(zhǔn)備通過考試(按照高分優(yōu)先錄取的原則)錄用名,其中個(gè)高薪職位和個(gè)普薪職位.實(shí)際報(bào)名人數(shù)為名,考試滿分為分. 考試后對(duì)部分考生考試成績(jī)進(jìn)行抽樣分析,得到頻率分布直方圖如下:
試結(jié)合此頻率分布直方圖估計(jì):
(1)此次考試的中位數(shù)是多少分(保留為整數(shù))?
(2)若考生甲的成績(jī)?yōu)?/span>280分,能否被錄取?若能被錄取,能否獲得高薪職位?(分?jǐn)?shù)精確到個(gè)位,概率精確到千分位)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如果對(duì)一切正實(shí)數(shù),,不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方體中,為棱的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)在平面及其邊界上運(yùn)動(dòng),總有,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為( )
A.兩個(gè)點(diǎn)B.線段C.圓的一部分D.拋物線的一部分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)年的純利潤為萬元,因設(shè)備老化等原因,企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降,若不進(jìn)行技術(shù)改造,預(yù)測(cè)從今年(年)起每年比上一年純利潤減少萬元,今年初該企業(yè)一次性投入資金萬元進(jìn)行技術(shù)改造,預(yù)計(jì)在未扣除技術(shù)改造資金的情況下,第年(今年為第一年)的利潤為萬元(為正整數(shù)).
(1)設(shè)從今年起的前年,若該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤為萬元,進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤為萬元(須扣除技術(shù)改造資金),求,的表達(dá)式;
(2)以上述預(yù)測(cè),從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年后,進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位已知直線l的參數(shù)方程為(為參數(shù),),拋物線C的普通方程為.
(1)求拋物線C的準(zhǔn)線的極坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)直線l與拋物線C相交于A,B兩點(diǎn),求的最小值及此時(shí)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐P-ABC中,已知,頂點(diǎn)P在平面ABC上的射影為的外接圓圓心.
(1)證明:平面平面ABC;
(2)若點(diǎn)M在棱PA上,,且二面角P-BC-M的余弦值為,試求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某省新課改后某校為預(yù)測(cè)2020屆高三畢業(yè)班的本科上線情況,從該校上一屆高三(1)班到高三(5)班隨機(jī)抽取50人,得到各班抽取的人數(shù)和其中本科上線人數(shù),并將抽取數(shù)據(jù)制成下面的條形統(tǒng)計(jì)圖.
(1)根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖,估計(jì)本屆高三學(xué)生本科上線率.
(2)已知該省甲市2020屆高考考生人數(shù)為4萬,假設(shè)以(1)中的本科上線率作為甲市每個(gè)考生本科上線的概率.
(i)若從甲市隨機(jī)抽取10名高三學(xué)生,求恰有8名學(xué)生達(dá)到本科線的概率(結(jié)果精確到0.01);
(ii)已知該省乙市2020屆高考考生人數(shù)為3.6萬,假設(shè)該市每個(gè)考生本科上線率均為,若2020屆高考本科上線人數(shù)乙市的均值不低于甲市,求p的取值范圍.
可能用到的參考數(shù)據(jù):取,.
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