Question

2．已知直線l：ax+by+c=0及圓P：x²+y²=1，其中a，b，c滿足條件：a²+b²=k²c²，其中（c≠0，k≠0）
（1）試討論直線l與圓P的位置關(guān)系，
（2）若直線l被圓P截得的弦長為1，求k的值．

Answer 1

分析 （1）利用點(diǎn)到直線的距離公式可得圓心O到直線l的距離d，通過直線l與⊙O相切?d=r?a²+b²=c²，即可判斷出．
（2）利用垂徑定理，通過弦長列出關(guān)系式，即可求出即可．

解答 解：（1）圓心O到直線l的距離d=$\frac{\left|c\right|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$，
直線l與⊙O相切?d=r?$\frac{\left|c\right|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=1?a²+b²=c²，
此時(shí)k=±1，
如果k∈（-1，1），則a²+b²＜c²，直線與圓的位置關(guān)系是相離；
如果k∈（-∞，-1）∪（1，+∞），則a²+b²＞c²，直線與圓的位置關(guān)系是相交；
（2）直線l被圓P截得的弦長為1，可得1=2$\sqrt{1-{（\frac{\left|c\right|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}）}^{2}}$，
解得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}=\frac{3}{4}$，即a²+b²=$\frac{4}{3}$c²，∴k²=$\frac{4}{3}$，k=$±\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了直線與圓相切的充要條件、直線與圓的位置關(guān)系的判定，垂徑定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．