Question

已知曲線C：(5－m)x2＋(m－2)y2＝8(m∈R)．

(1)若曲線C是焦點在x軸上的橢圓，求m的取值范圍；

(2)設(shè)m＝4，曲線C與y軸的交點為A，B(點A位于點B的上方)，直線y＝kx＋4與曲線C交于不同的兩點M，N，直線y＝1與直線BM交于點G.求證：A，G，N三點共線．

 

Answer 1

（1）（2）見解析

【解析】學生錯【解析】
【解析】
(1)曲線C是焦點在x軸上的橢圓，當且僅當解得2＜m＜5，所以m的取值范圍是(2，5)．

(2)當m＝4時，曲線C的方程為x2＋2y2＝8，點A，B的坐標分別為(0，2)，(0，－2)．

由得(1＋2k2)x2＋16kx＋24＝0.

設(shè)點M，N的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則y1＝kx1＋4，y2＝kx2＋4，x1＋x2＝，x1x2＝.直線BM的方程為y＋2＝x，點G的坐標為.

因為直線AN和直線AG的斜率分別為kAN＝，kAG＝－，所以kAN－kAG＝

＝＝＝＝0.

即kAN＝kAG.故A，G，N三點共線．

審題引導：(1)方程的曲線是焦點在x軸上的橢圓；

(2)證明三點共線的常用方法．

規(guī)范解答：【解析】
(1)曲線C是焦點在x軸上的橢圓，當且僅當 (3分)

解得＜m＜5，所以m的取值范圍是.(4分)

(2)當m＝4時，曲線C的方程為x2＋2y2＝8，點A，B的坐標分別為(0，2)，(0，－2)．(5分)

由得(1＋2k2)x2＋16kx＋24＝0.(6分)

因為直線與曲線C交于不同的兩點，所以Δ＝(16k)2－4(1＋2k2)×24＞0，即k2＞.(7分)

設(shè)點M，N的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則y1＝kx1＋4，y2＝kx2＋4，

x1＋x2＝，x1x2＝.(8分)

直線BM的方程為y＋2＝x，點G的坐標為.(9分)

因為直線AN和直線AG的斜率分別為kAN＝，kAG＝－，(11分)

所以kAN－kAG＝＝0.

即kAN＝kAG.(13分)故A，G，N三點共線．(14分)

錯因分析：易忽視焦點在x軸上，漏掉這一條件，從而失誤．聯(lián)立消元后易忽視Δ＞0這一前提條件．